三角形中的垂直平分线特级教师教学实录

第1章

三角形的证明

3

线段的垂直平分线

第2课时

三角形三边的垂直平分线

课题

第2课时

三角形三边授课人

张春红

的垂直平分线

1.通过折纸和作图提出猜想，验证猜想，能够证明三角形三边知识技能

教

学

目

标

的垂直平分线交于一点；

2．能够利用尺规作出符合条件的三角形，提高熟练使用尺规作图的技能.

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.

能够证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点这一命题，会用尺规作出“已知底边及底边上的高”的等腰三角形.

在数学活动中获得成功的体验，体会解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.

数学思考

问题解决

情感态度

教学重点

教学难点

授课类型

教具

掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.

三角形三条边的垂直平分线性质的证明及应用.

新授课

课时

课件、三角尺、等腰三角形纸片

教学活动

教学步骤

师生活动

设计意图

活动

一：

复习

巩固

线段垂直平分线的性质定理和逆定理？结合图形用几何表示？

温故知新然后引出本节课的主题——今天我们也要利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理来解决本节课需要探究的内容. 活动

【探究1】

证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，并

让学生自己动手，

二：

实践

探究

交流

新知

且这一点到三个顶点的距离相等

让学生拿出课前准备好的三角形纸片，根据对称性，让学生用折叠的方法找出每条边的垂直平分线，观察这三条边的垂直平分线，你有什么样的发现？与同组同学进行交流．

通过折纸的方式来发现三角形三条边的垂直平分线相交于一点的特性，加深学生的直观印象．

让学生利用证明的方法掌握三角形三边垂直平分线的性质，并掌握其证明的

图1－3－52 【探究2】

三角形三条边垂直平分线的性质的证明

例1

求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

已知：如图1－3－52，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC.

图1－3－53 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．

同理，PB＝PC. 方法和步骤．通过巩∴PA＝PB＝PC. 固练习让学生能够∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距进一步掌握线段垂离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，

直平分线性质的应即边AC的垂直平分线经过点P. 用.

巩固练习：

1．如图1－3－54，在△ABC中，已知AC＝27，AB的垂

直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于

50，求BC的长．

图1－3－54

2.如图1－3－55，在△ABC中，BC＝12，∠BAC＝100°，

AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直

平分线交BC于点N，交AC于点M. 让学生掌握如何在(1)求△AEN的周长；

已知底边和高的情(2)如果DE交MN于点P，猜想△PBC的形状．

况下作一个等腰三角形，同时进一步使

学生掌握线段垂直平分线的作法.

图1－3－55 例2

已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个

等腰三角形．

已知：如图1－3－56，线段a，h. 求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h.

图1－3－56 作法：

图1－3－57 1.作线段BC＝a(如图1－3－57)；

2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D；

3．在l上作线段DA，使DA＝h；

4．连接AB，AC. △ABC就是所求作的等腰三角形. 【应用举例】

例1

在△ABC中，若AB－AC＝2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，且△ACD的周长为14 cm，则AB＝________，AC＝________. 例2

如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P. (1)若∠A＝35°，则∠BPC＝________；

(2)若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则△PBC的周长＝________．

活动

三：

开放

训练

体现

应用

通过例题的解决，加深学生对本课知识的掌握，使学生进一步熟练利用尺规作一条已知线段的垂直平分线.

例3

如图，已知∠ABC及两点M，N. 求作一点P，使PM＝PN，且点P到∠ABC两边的距离相等．

【当堂训练】

1．P为△ABC内一点，且PA＝PB＝PC，则点P是(

) A．三条中线的交点

B．三条高的交点

C．三个角的平分线的交点

D．三边垂直平分线的交点

2．如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(

) A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形

巩固所学知识，帮3．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则助学生准确及时地EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE掌握本节课的内容，垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的且可使教师了解本垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则过点E的直线垂直节课的教学效果. 平分线段AB.其中正确的说法有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．有一块三角形的地，现要平均分给四个农户种植(即四等分三角形的面积)，请你在图上作出分法．(不写作法，保留作图痕迹) 活动

四：

课堂

总结

反思

【板书设计】

第2课时

三角形三边的垂直平分线

三角形三边垂直平分线的性质

例1：

例2：

层次清晰，简洁明了，使学生对本课所学新知做到一目了然.

【教学反思】

在这一节中，利用折纸引入新课，学生积极性很高，易于理解和接受，并有助于提升学生的动手能力和归纳能力.

本节课我们利用作图和折纸得到三角形三边垂直平分线的性质，性质的证明是本节课的重点也是难点，对此可以多花费一点时间让学生理解，使他们能够完善、规范证明步骤．利用尺规作出已知底边及底边上的高的等腰三角形是本节课的另一重点.

反思，更进一步提升.