公因式为多项式的提公司因式法教学设计实例

因式分解

一，

概念理解：多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．

二，

因式分解的方法：

(1)提公因式法

如多项式ambmcmm(abc),

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式

例题讲解：（1）2ab+ 4abc （2）-mn -3nm 22323 （3）2x（x+y）2+6x2（x+y）2 学生练习：

1、3x+6= 2、7x2-21x= 3、8a3b2-12ab2c+ab= 4、-24x3-12x2+28x= 2235、-5ab+20ab-15ab= 6、am-am-1=（ ）（a-1）

7、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（ ）

8、多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ）

9、-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.14 10、 30.5×768.3-768.3×20.5

拓展与探究

1、

已知n为非零的自然数,先将2n+4-2n分解因式,再说明2n+4-2 n能否被30整除.

2、若a=-2，a+b+c=-2.8，求a2（-b-c）-3.2a（c+b）的值。

3、说明817279913能被45整除。

2

1

(2)运用公式法。

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充几个常用的公式：（适度讲解）

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．

12 23a6a3 (ab)(3ab)2(a3b)2(ba)

例题讲解：1、1- x42、若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（

）

3、一块边长为a的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，问扩建后的广场面积增加了多少？

11122学生练习：1、x－4

2、

x2－

x＋

3、

9m－6m＋2n－n

164414、多项式a2＋4ab＋2b2,a2－4ab＋16b2,a2＋a＋ ,9a2－12ab＋4b2中，能用完全4平方公式分解因式的有几个？

5、已知正方形的面积是9x6xyy

（x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式

。

6、一个多项式分解因式的结果是(b2)(2b)，那么这个多项式是（

3322 ）

7、在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2x1x9，而乙同学因看错了常数项而将其分解为2x2x4，试将此多项式进行正确的因式分解。

8、已知ab2，ab2，求131aba2b2ab3的值。

229、大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米。求这两个

2

正方形的边长。

(3)十字相乘法

对于二次项系数为l的二次三项式x2pxq, 寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则x2pxq(xa)(xb);对于一般的二次三项式ax2bxc(a0),寻找满足 a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则ax2bxc(a1xc1)(a2xc2).

例题讲解：a－a－6 x4x21 22 x23xy2y2 2x27x3

学生练习：1、6x7x5 2、5x26xy8y2

2 3、4m28mn3n2 4、5x515x3y20xy2

5、若x＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;

2 6、若二次三项式2x+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ; 2 7、若x+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是 ; 28、关于X的二次三项式x－4x＋c能分解成两个整系数的一次的积式，那么c可取下面四个值中的（

）

(A) －8

(B) －7

(C) －6

(D) －5

2(4)换元法

例题讲解：1、设(x＋y)(x＋2＋y)－15＝0,则x＋y的值是（

）

2、分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.

学生练习： 1、(x＋y)(x＋y－1)－12 2、ab4ab3

2

3、(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2

4

(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24

3(5)拆项法和添项法

例题讲解：分解因式：x-9x+8 x2＋2ax－3a2

(6)双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如：分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为：2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)

3

因式分解的应用

知识点一：用因式分解法求某些代数式的值和进行简单多项式的除法

例题讲解：

1、不论ａ为何值，代数式－ａ＋4ａ－5值（

）

（A）大于或等于0

（B）0

（C）大于0

（D）小于0 22、若a2b22b10，则a，b＝

。4、如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= 。

5、a、b、c是△ABC的三边，且a2b2c2abacbc，那么△ABC的形状是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形

D、等边三角形

6、计算：ab2ab1ab1

22学生练习：1、已知a113，则a22的值是 aa2、10a2b215ab32a3b

3、已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数

4、已知多项式xaxbxc能被x3x4整除。（1）求4ac；

（2）求2a2bc； （3）若a,b,c为整数，且c≥a＞1，试确定a,b,c的值。

5、计算(4x8x5xx1)2x1

4323226、已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a22b2c22b(ac)0，试判断此三角形的形状。

知识点二：用因式分解解简单的方程

例题讲解：1、x3x0

2、求方程xxy5x5y10的整数解

学生练习：1、方程x1x1的解是？

22 2、x3x15 3、9x24x1

22

4

因式分解中考题集

1. ax+by+ay+bx 2. x2-1 3. x2+x^3

4. x2+x3-2 5. x

8. x4-1 10. b

12. x2-100x+99 14. x

16. 8x2-6x-9 17. (x+1)(x+2)-12 18. x

19. 3x4-6x2+3 20. a

22. x2-3x-28 23.

25. (x－2)2－x＋2 26. xx)

2-6x+8 6. x2-12x+35 2+ab+ac+bc 11. x6+8x3+9 2-x-y2-y 15. 7x2-19x-6 2+(p+q)x+pq 2(x－2a)2－a(x－2a)2 21. 25m2－10mn＋n2 y4+2y3-3y2 24. (x－1)2*(3x－2)＋(2－3x) 2-12x-28 27. 12a2*b(x－y)－4ab(y－5

28. a2＋5a＋6 34. 6y2-16y+8 35. 6-7a-5a2

36. 3x2-17x+10 37. 6a2-11ab+3b2 38. 2m3+3m2-5m

39. (x+y)2-2(x+y)-3 40. a2-b2+2ab-c2 41. m2+2mn+n2-1

42. x2-4y2+4yz-z2

9、因式分解：9x2－y2－4y－4＝__________．

10、若xmyn=(xy2)(xy2)(x2y4)，则m=_______，n=_________。

11、已知1xx2x2004x20050,则x2006________.

12、若xy4,x2y26则xy___。

13、计算(11111)(1)(1)(1)的值是（ ）

232223910121、已知2xy，xy2，求

2x4y3x3y4的值。

322、已知ab2，求(a2b2)28(a2b2)的值

23、（1）已知xy2,xy2，求x2y26xy的值；

（2）已知x2y21,xy（3）已知ab1，求xy的值；

213，ab，求（1）(ab)2；（2）a3b2a2b2ab3

28（4）已知4x216y24x16y50，求x+y的值；

22222224、(cab)4ab

6

25、先分解因式，然后计算求值：（本题6分）

（a2+b2－2ab）－6（a－6）+9，其中a=10000，b=9999。

mn15，26、已知mn8，求m2mnn2的值。

24、27已知：a2a10，

(1)求2a22a的值； (2)求a32a21999的值。

x2y2xy的值．

28、已知x(x－1)－(x－y)＝－2．求22

换元法分解因式（将重复出现的两项或者多项看成一个整体或者用一个字母代替它，使得分解因式变得简单）

例1、(x1)(x2)(x3)(x4)24

例2、(a22a)22(a22a)3

例3.（x+1）(x+2）（x+4）(x+5)+2

例4.利用公式变形

1.已知a,b,c为△ABC的三边，a4+b4+c4+2a2b2-2b2c2-2a2c2=0，则说明三角形ABC的形状。

2.分解因式

7

a2+4b2+9z2-4ab+6az-12bz 因式分解常见方法复习

x2y2xy的值．

1.

已知x(x－1)－(x－y)＝－2．求222.

已知4x216y24x16y50，求x+y的值；

3.

已知mn8，mn15，求m2mnn2的值。

4.

计算(1122)(1133)(1192)(11102)的值是（

8

）