1.2.1 充要条件优质教案设计

选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG §1.2.2 充要条件

【学习目的】

1.理解充要条件的意义.

2.会判断、证明充要条件．

【要点梳理】

1．一般地，如果既有pq，又有qp，就记作

.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称

．

2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的

条件．即如果

，那么p与q互为充要条件．

【特别提醒】

正确理解，判断充要条件，在应用中体验数学的等价转化思想，增强逻辑思维能力．

◇课内探究◇

问题探究一

充要条件的判定

问题

结合充分条件、必要条件的判断，请你总结一下充要条件的判断方法．

答案

一般有如下三种方法判定充要条件：

(1)定义法:直接判断p⇒q和q⇒p是否成立,然后得出结论；

(2)等价命题法：

∵p⇔q与¬p⇔¬q等价，∴可以通过判断¬p⇒¬q和¬q⇒¬p是否成立得出结论．

对于含否定形式的命题，一般可采用此法．

(3)集合法：设条件p对应集合A，条件q对应集合B，可以通过判断A＝B是否成立得出结论．

例1

下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. 解

在(1)(3)中，p⇔q，所以(1)(3)中p是q的充要条件．在(2)中，q

p，所以(2)中的p不是q的充要条件．

小结

判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法．

跟踪训练1

指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)? (1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；

(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形. a2＋c2－b2222解

(1)△ABC中，∵b>a＋c，∴cos B＝<0，

2ac∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2

p，故p是q的充分不必要条件．

(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，

∴p

q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

问题探究二

充要条件的证明和应用

问题1

判断p：x>0，y>0，q：xy>0且x＋y>0的关系．并思考证明p是q的充要条件的方法．

答案

若x>0，y>0，则x＋y>0且xy>0；反之，若xy>0，则x、y同号，又x＋y>0，∴x>0，y>0，因此p是q的充要条件．

小结

一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”即p⇒q. 问题2

若p、q互为充要条件，设A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，思考两个集合A、B的关系．

答案

A＝B

结合充分条件、必要条件的含义，p⇒q，则A⊆B；q⇒p，则B⊆A，故p⇔q时，A⊆B且B⊆A，故A＝B. 例2

求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0. 证明

先证必要性：

∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，

∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0，

∴a·22＋b·2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0，

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选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG ∴必要性成立．

再证充分性：

∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，

代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－4a－2b＝0，

即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0，

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，

∴充分性成立．

因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0. 小结

证明充要条件问题要分别证明充分性和必要性两个方面．即若证p是q的充要条件需证p⇒q和q⇒p两个方面，同时注意条件的充分性和必要性不要混淆．

跟踪训练2

求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2. 证明

必要性：

若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则

Δ＝(2k－1)－4k≥0(x1－1)＋(x2－1)>0(x1－1)(x2－1)>01k≤4222

⇒(x＋x)－2>0xx－(x＋x)＋1>01212121k≤4

即－(2k－1)－2>0k＋(2k－1)＋1>0充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0. 设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2. 则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1 ＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0. 又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2 ＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，

∴x1－1>0，x2－1>0.∴x1>1，x2>1. 综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2. 例3

求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件．

解

当a＝0时，2x＋1>0不恒成立．

当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒成立．

a>0⇔⇔a>1. Δ＝4－4a<0所以不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>1. 小结

将题中的充要条件转化为参数满足的条件，要注意条件之间的等价性，对参数的取值讨论要全面．

，解得k<－2.

x1|2，q:x22x1m20(m0)，若p是q的充分不必要条件，求3实数m的取值范围．0m3

跟踪训练3 已知p:|1◆课堂练习

111．“sin α＝”是“cos 2α＝”的

(

A

) 22A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

111111解析

当sin α＝时，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，反之cos 2α＝时，1－2sin2α＝，此时sin α＝±. 2422222．条件p：x>1或x<－3，条件q：x2－5x＋6<0，则q是p的

(

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选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

由x2－5x＋6<0，可得2

∴q⇒p，而p

q，故选A. 3．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．2ab0

◆课堂小结

1．若p⇔q，则p、q互为充要条件．

2．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集

合法．

3．证明充要条件要证明充分性和必要性两个方面．

◇课后作业◇

1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的

(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

2．设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的

(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

3．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的

(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的

(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

5．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的

(

) A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

6．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么“φ(a，b)＝0”是“a与b互补”的

(

) A．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

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选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG 7．设{an}是等比数列，则“a1a2a3”是“数列{an}是递增数列”的（

）

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

8．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的______________条件．

9．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的____________条件．

10．判断下列命题中，p是q的什么条件？

(1)p：x>2，且y>3，q：x＋y>5；

(2)p：b2－4ac<0，q：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R. 11. 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 12．已知M＝{x|(x＋3)(x－5)>0}，P＝{x|x2＋(a－8)x－8a≤0}．

(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

(2)求a的一个取值范围，使它成为M∩P＝{x|5

答案

1．A

2.A

3.A

4.A

5.B

6.C 7．C

8.充要

9. 必要不充分

10．(1)p是q的充分不必要条件

(2)p是q的必要不充分条件

11. 证明

充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根) ∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0. ∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，

c则x1x2＝<0，∴方程的两根异号．

a即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0) ∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，

c则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，

a综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 12．解

M＝{x|x<－3或x>5}，

P＝{x|(x＋a)(x－8)≤0}．

(1)显然，当－3≤－a≤5，即－5≤a≤3时，M∩P＝{x|5

取a＝0，由M∩P＝{x|5

(2)当M∩P＝{x|5

但当a≤3时，推不出M∩P＝{x|5

所以a≤3是M∩P＝{x|5

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