3.4 生活中的优化问题举例优质教案设计

3.4 生活中的优化问题举例教学设计

一、教学目标：

（一）知识与能力：能把背景性的问题结合生活经验通过分析问题逐步引入到数学问题中,熟悉数学建模的过程，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力.

（二）过程与方法：通过三个具有代表性的问题和对问题的深入分析，了解现实生活中存在的大量的优化问题，同时了解导数在解决优化问题中的作用.

（三）情感态度与价值观：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯.

二：教学重难点：

重点：能从实际问题的不同情景出发，建立与之相对应的函数关系．

难点：对问题深入细致的分析，完成数模转换. 三：教学过程

（一）知识回顾

函数的单调性：

一般地，函数的单调性与导数的

关系:在某个区间(a,b)内，如果f′x>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′x<0

，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. （二）新课导入

在过去的学习中，我们一般把优化问题转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最值问题．

导数是求函数最大（小）值的强有力的工具.如何学以致用，利用导数求解优化问题呢？

（三）新课讲授

例1

铁桶的最大容积：

把边长为a的正方形铁皮减去六个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正六棱柱形容器（不计接缝），设被剪去的四边形的AB

边长为x，容器为V(x).求x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.

因为被剪去的四边形的AB边长为x，则做成的正六棱柱容器的底边长为a-2x,正六棱柱的高为3a

.

B3xxACD

则：

Vx=3x61a-2x3a-2x221其中0

10,a在开区间2

210,a2上的最大值点.先求V(x)的极值点

9'V'(x)=54x2-36ax+a2V2内，求导数得令(x)=0，即令

1192x=a,x=a54x-36ax+a=0,1262（舍去）

2解得：

因为在区间

当

10,a2

内，'x1=1a6可能是极值点. Vx>00

x=1x1=6因此x1是极大值点，且在区间x1内，

a是唯一的极值点，所以是V(x)的最大值点，并且最大值1a3311fa=a3631x=a即当6时，容器的容积最大为

.

例2

海报版面设计

学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示

的竖向张贴的海报，要求版心面积为128

，上下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

例3

饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本0.8πr分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每售出1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. 那么瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大和最小？

例4

磁盘的最大存储量问题

计算机把信息存储到磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，几个基本单元通常称为比特(bit).

现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域. ①

②

是不是r越小，磁盘的存储量越大？

R为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存在任何信息）

2

为保障磁盘分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数.

四：课堂小结: •

实际问题转化数学模型；

•

求解数学问题；

•

数学结果还原到实际问题之中

五：课堂习题：

1.从长8cm，宽5cm的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

2.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶133y=x-速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

x

+

8

（

0

<

x

≤

120

），12800080已知甲乙两地相距100千米，当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？