二、圆锥曲线的离心率与统一方程课堂实录【3】

成都市中和中学高2018届数学备课组

《解析几何微专题——离心率》导学案（理）

离心率的求值或取值范围问题

高三数学组：吴文辉

一、考纲解读与考情分析

1、《2018年普通高考学校招生全国统一考试大纲》p32：

（1）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。

（2）了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质。

2、《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》p191: （1）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）；

（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）。

3、近三年高考中以求离心率的大小或其取值范围为主。全国卷中主要出现在第9-12题、14-16题，中、高难度为主。

4、近三年全国卷及地方卷中，离心率的问题几乎是必考题，特别市2017年，全国1-3卷均各有一题（选填题）。

二、必备知识

（1）椭圆：a2bc e222cb1()2e(0,1)

aa cb1()2e(1,)

aa （1）双曲线：cb2a2 e三、本专题学习目标

1.一个关键：寻找、寻求建立a，b，c（或a,b,c中的两个）的一个等式或不等式

2.两个切入点：从“形”入手、从“数”下手

3.三个方向：从圆锥曲线的定义思考、从几何图形的性质出发、从方程或不等式的角度落笔

4.四种工具：平面几何基础知识、平面向量的知识、三角函数、基本不等式

5.五种思想：数形结合的思想、方程思想、函数思想、等价转换思想、分类讨论思想

四、题型分类 典例研究

方法1 定义法

解题模板：第一步 根据题目条件求出

的值

1

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第二步 代入公式，求出离心率.

例1.在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为(1,0),,则的值为 ．

【变式演练1】若椭圆经过原点，且焦点分别为A.(3,0),则其离心率为（

）

3211

B.

C.

D.

4324方法2 方程法

解题模板：第一步 设出相关未知量；

第二步 根据题目条件列出关于的方程；

第三步 化简，求解方程，得到离心率. 常见背景1：焦点三角形; 2：几何性质

例2.，是双曲线的左、右两个焦点，过的直线

与C的左右两支分别交于A.B两点,若ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心离为（ ） A.3 B.2 C.7 D.3

【变式演练2.1】已知椭圆的左焦点为短轴为直径的圆与线段相切于线段，右焦点为.若椭圆上存在一点，且以椭圆的的中点，则该椭圆的离心率为（）

A.

B.

C.

D.

分别是双曲线的左、右焦为半径的圆上，则双曲线的【变式演练2.2】【2018四川省成都市第七中学模拟】已知点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心、离心率为（ ）

2

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A. 3

B.

C. 2

D.

例3.如图，与双曲线，是双曲线、两点，且四边形的左、右两个焦点，若直线为矩形，则双曲线的离心率为（ ）

交于A．B．C．D．

【变式演练3.1】（2017课标全国Ⅲ理10）已知椭圆C：顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线离心率为( )

，（a>b>0）的左、右相切，则C的A．

B．

C．

D．

【变式演练3.2】（2016课标全国Ⅲ理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )

（A）

（B）

（C）

（D）中，

是椭圆【变式演练3.3】【2016江苏10】如图，在平面直角坐标系的右焦点，直线圆的离心率是

方法3 借助题目中给出的不等信息

与椭圆交于两点，且，则该椭3

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解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；

第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解. 例4.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若B1PB2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A．(52525151B．(0,C．(0,D．(),1)),1)

2222

【变式演练4】设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|3d，则双曲线离心率的取值范围是（

）

A.(1,2]

B．[2,)

C．(1,3]

D．[3,)

方法4 借助平面几何图形中的不等关系

解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，

第二步 将这些量结合曲线的几何性质用a,b,c进行表示，进而得到不等式，

第三步 解不等式，确定离心率的范围. 例5.已知椭圆的中心在O,右焦点为F，直线

，若在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

2A.,123B.0,2

  3C.,12 2

D.0,2

x2y2【变式演练5】已知椭圆C1:221(ab0)与圆C2:x2y2b2，若在椭圆C1上ab

4

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存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（

）

A．[,1)

12B．[2323C．[D．[,],1),1)

22

22

方法5 借助函数的值域求解范围

解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；

第二步 通过确定函数的定义域；

第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围. x2y2x2y21有相同的焦点，则椭圆C1的离1与双曲线C2:例6.已知椭圆C1:mnm2n心率的取值范围为（）

A．(122B．(0,C．(0,1)

D．(0,)

,1))222

x2y2【变式演练6】

是经过双曲线

C:221a0,b0焦点F且与实轴垂直的直线,abA,B是双曲线C的两个顶点,若在

上存在一点P,使APB60,则双曲线离心率的最大值为（

）

A．323 B．3 C．

23 D．

33【高考再现】

x2y21.【2016高考新课标2理数】已知F1,F2是双曲线E:221的左，右焦点，点M在Eab上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1A．2 B．1,则E的离心率为（ ）

33 C．3

D．2 2x22x222. 【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：2+y=1(m>1)与双曲线C2：2–y=1(n>0)的焦点mn重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（

）

5

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A．m>n且e1e2>1

B．m>n且e1e2<1

C．m1

D．m

【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（

）

A．5

B．2

C．3

D．2

25.【2017•新课标Ⅱ】若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）

A、2

B、

C、

D、

x2y26.【2015高考湖南，理13】设F是双曲线C：221的一个焦点，若C上存在点P，ab使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.

x2y27.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy中，双曲线C1:221a0,b0的ab渐近线与抛物线C2:x2pyp0交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C12的离心率为

. 8.【2017•新课标Ⅰ卷】已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________

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