二、圆锥曲线的离心率与统一方程公开课教案

高三理科数学二轮复习

圆锥曲线的离心率问题

一. 考情分析

1.考点分布：

近几年圆锥曲线的离心率在全国卷中考查情况：

年份

2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2.学情分析：

从学生的反馈情况看，求解解析几何问题包括离心率问题最大的困难是题目综合性强，运算量大，过程复杂。

二. 复习目标

1．了解近几年全国高考对圆锥曲线离心率问题的考查要求，理解离心率的定义，掌握求解离心率的基本方法；

2．通过习题引导学生总结求解离心率问题的方法，突破重难点；

3．通过探究圆锥曲线离心率问题，体会感悟解决数学问题的解题策略和思想方法，提升学生的运算能力，落实好自主探究的核心素养。

知识储备：

22xy

1.椭圆221(ab0)的焦距为2c，长轴长2a，短轴长2b，a2b2c2,ab

c离心率e(0e1).a

x2y2222

2.双曲线221(a0,b0)的焦距为2c，实轴长2a，虚轴长2b，cab,abc

离心率e(e1).a题号

1卷

7 1卷

4 1卷

4 2卷

20（1）

2卷

11 2卷

11、

3卷

11 1卷

15、

2卷

9、3卷

10 考查知识点

双曲线离心率

椭圆离心率

双曲线离心率

椭圆离心率

双曲线离心率

双曲线离心率、椭圆离心率

双曲线离心率、椭圆离心率

b2b23.过焦点(c,0)且垂直于坐标轴与椭圆或双曲线交于A,B两点，则两点坐标分别为(c,),(c,).

aa

1

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课前热身：

x2y2

1.在平面直角坐标系中，椭圆221(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，

ab

a2过点，则椭圆的离心率e_________.c,0作圆的两切线互相垂直



2.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，AB为

C的实轴长的2倍，则C的离心率为_______.

x2y253.已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为，则C的渐近线方程为_______.

2ab22xy

4.设双曲线221(a0,b0)的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，若直线BF与

ab该双曲线的一条渐近线垂直，则此双曲线的离心率为( )

31

51A.2 B.3 C. D.

22

5.已知F1,F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点M总在椭圆的内部，则椭圆的离心率

的范围是__________.

方法：构造a,c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a,b,c之间的关系，构造a,c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的方程

或不等式，从而解得离心率e的值或取值范围.

三．讲授新课

例1.设椭圆C的两个焦点分别为F1,F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2

为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为________.

22yx

变式1.已知双曲线：221(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2，焦距为2c，直线ab

y3(xc)与双曲线的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则双曲线的离心率为( )

A.2 B. 3

C. 2 D.31

x2y2变式2.已知F1,F2是双曲线221(a0,b0)的左，右焦点，过F1的直线l与双曲线的

ab

左，右两支分别交于A,B两点，若ABF2是等边三角形，则此双曲线的离心率为_________.

方法获得：

x2y2例2.设椭圆C:221(ab0)的左,右焦点为F1,F2，过F2作x轴的垂线与C交于

ab

A,B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于________.

2

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xy

练习.在直角坐标系xoy中，设F为双曲线C:221(a0,b0)的右焦点，P为双曲线Cab

的右支上一点，且OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为( )

23A.3 B.

C.13 D.23

3

x2y2

变式.设椭圆C:221(ab0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的

8直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P,Q，且APPQ,则椭圆C的离心率等于________.

5

方法获得：

22yx

例3.已知F1,F2分别是双曲线221(a0,b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线ab

的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内,

则双曲线的离心率的取值范围是( )

A.1,2 B.2， C.1，2 D.2，

x2y2练习1.设椭圆C:221(ab0)和圆O:x2y2b2，若椭圆C上存在点P，使得过点

ab

P引圆O的两条切线，切点分别为A,B满足APB60，则椭圆C的离心率的取值范围是

_________.

2（.2013重庆高考）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O所成的角为60

的直线A1B1和A2B2，使A1B1A2B2，其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点，

则该双曲线的离心率的取值范围是( )

23232323

A.,2 B.,2 C., D.,3

333

方法获得：

四．课堂小结

22ab1.求离心率的解题步骤：

①作图，分析

②确定a,b,c的关系式

③消去b得到a,c的关系式，再求离心率

2. 数形结合思想方法

五．巩固练习：那些年高考中的离心率

x2y23a1.(2012全国1）设F,F是椭圆E:1(ab0)的左,右焦点，点P为直线x上一点，

12222ab

F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为( )

234

1A.

B. C.

D.

2345

3

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x2y22（.2017全国1）已知双曲线C:221(a0,b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径

ab

作圆，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN60，则C的离心率为____.

x2y2

3（.2016全国2）已知F1,F2是双曲线E:221(a0,b0)的左右焦点，点M在E上，ab

1MF1与x轴垂直，sinMF2F1,则E的离心率为( )

3

3A.2 B. C.3 D.2

x2y2（2016年全国III）已知O为坐标原点，F是椭圆C：221(ab0)的左焦点，4．abA,B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（

）

21A．3

1B．2

2C．3

3D．

4

x2y2

5（.2015福建卷）已知椭圆E:221(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M,ab

4

直线l:3x4y0交椭圆E于A,B两点，若AFBF4，点M到直线l的距离不小于，5

则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）

3333

A.0,

B.0, C.,1 D.,12424



六．课后思考：

如何求解抛物线中有关AFBF模型的问题？

巩固练习答案：1.C 2.23 3.A 4.A 5.A 34