3.1.3 导数的几何意义名师教学视频（文字实录）

◆

教

案

导数的几何意义

教

材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修1-1

授课教师:广东省兴宁市田家炳中学 钟远彬

【教学目标】

知识与技能目标：

本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：

(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。

(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。

(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义，使学生认识到导数f(x0)就是函数f(x)的图象在xx0处的切线的斜率。即：

f/x0limx0fx0xf(x0)＝曲线在xx0处切线的斜率

x在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：

(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。 (2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。

(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。

1

情感、态度、价值观：

(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；

(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

【教学重点与难点】

重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义。

【教学方法】

《新课程标准》的理念是“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法”。

考虑授课对象是高二年级文科生，数学的知识基础和数学思维能力的层次差异较大，所以本节课设计为分层探究、自主实践的活动课。

分层教学体现在学生自选分层问题进行探索新知、尝试知识应用以及课上的分层训练，目的是使学生在原有的认知基础上都得到尽可能多的提高，以改善优生吃不饱，后进生不消化的问题，从实处构建高效课堂。

学生的课堂练习可以展现学生的思维，暴露学习中的不足。故在课堂争取更多的时间供学生进行定时不定量的分层训练，训练系统分三部分，即A、B、C三部分。教师指导学生根据个人知识掌握的程度，自由选择一组题目进行练习。每组题目都有基础题型以检测本节课的学习任务的完成情况，期望不同的学生在原有的基础上都能得到自身最大的发展。

巧用信息技术，展示两个类比的动画，增强直观性，期望不同层次的学生，在探索的过程中都有感知和发现，同时增加课堂容量。

2

【学法指导】

通过设计环环相扣的思考问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，教师在这个过程中不打断学生的思路，学生可以根据学案超前完成活动，期望有能力的学生走在老师的前面，同时，学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助，以更好地在课堂上完成学习任务。

使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中。

【教学手段】

(1) 借助多媒体辅助教学，强化直观感知。

(2) 提供学案“学生活动”，突破理解难点。

【数学知识线索】

数：

平均变化率

形：

割线的斜率

类

比

数形结合

瞬时变化率

导

数

应

用

切线的斜率

导数的几何意义

函数的增减性

割

线

逼

近

切

线

【教学流程】

复习旧知，自然引出研究问题

动画类比、知识迁移，获得切线新定义

数形结合，学生探索获得导数的几何意义

通过例题和练习，巩固知识，加深对导数的认识

3

【教学过程】（后附：学案“学生活动”

）

教

学

过

程

一、创设情境、导入新课

1.回顾旧知、引出研究的问题：

前面我们学习了函数在xx0处的导数f(x0)就是函数在该点处的瞬时变化率。那么：

．．．．．问：(1)

求导数f(x0)的步骤有哪几步?

fxxf(x0)生：第一步：求平均变化率y0；

xxfxxf(x0)第二步：求瞬时变化率f(x0)lim0. x0x

设

计

意

图

（即x0，平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数）

．．．．．．．．老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径。

fxxf(x0)

(2)观察函数yf(x)的图象，平均变化率y0

xx在图形中表示什么？

生：平均变化率表示的是割线PPn的斜率.

教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。

突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么？

yy（复习引入

用时约3分lim师：这就是平均变化率()的几何意义，那么瞬时变化率()．．．．．．．．．．．x0x钟）

x．在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义。

4

二、引导探究、获得新知

1.动画类比，得到切线的新定义

要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究x0，割线的变化趋势，看下面的动画。

．．．．．．．◆多媒体显示【动画1】：

圆上点A处的切线AT和割线AB，演示点B从右边沿着圆逼近点A ,然后再从左边沿着圆逼近点A ，即x0，割线AB的变化趋势。

以求导数的两个步．．．．．．．骤为依据，从平均变化率．．．．的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住x0的联系，在图形上从割线入手来研究问题。

带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感知当x0，割线的变化趋势。

用逼近的方法体会割

线逼近切线，消除学生教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？

生：先感知后发现，当x0，随着点B沿着圆逼近点A，割线对极限的神秘感。

肯定学生的研究结果，并引导学生把这种由割线逼近的方法得到切线推广到一般曲线，并由此得出割线的变化趋势，为研究几何意义做好铺垫。

AB无限趋近于点A处的切线。

◆把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得：

多媒体显示【动画2】：

动态演示教材上点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势图。

师：类比【动画1】，当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，即x0，研究割线PPn的变化趋势。

5

学生观察【动画2】，类比得出一般曲线的切线定义：

当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)逼近点P(x0,f(x0))时，即x0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。

突破研究的难点：x0，割线PPn点P处的切线

那么：x0，割线的斜率？与导数f(x0)又有何关系呢？学生自选A或B组题目进行下面的探究活动。

2.数形结合，探究导数的几何意义

结合【动画2】的变化过程，学生思考下面的问题，探究导数的几何意义。分层自选(A)、(B)中的一组。

【探究一(A)】

1.已知曲线上两点P(x0,f(x0)),Pn(x0x,f(x0x))：

(1)根据切线定义可知：x0，割线PPn趋近于切线PT

。那么割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k又有何关系？

生： 当x0,则

knk,即klimkn x0

类比两个动画，探索一般曲线中的切线定义，让不同程度的学生都能借助直观的图象感知和发现，得出：x0，割线逼近该点处的切

（直观获得切线的定义，至此用时约8分钟）

通过两个思考问题：（1）先解决割线斜率与切线斜率的关系，（2）再对照平均变化率与瞬时变化率的关系，自然得出切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数。

（A）组题要求学生结合图形直观感知，找到联系得出导数的几何意义。增加了铺垫问题为学生引导思路。便于学生较好地完成探索活动，主动获得知识。

(2)对比“x0时，平均变化率趋近的确定常数就是瞬时变化率”，又割线的斜率对应平均变化率，那么切线的斜率对应什么？

生：切线的斜率对应该点处的瞬时变化率，即该点处的导数。

6

2.结合上面的研究过程，你能指出导数f(x0)的几何意义吗？

生：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k，即：klimx0

优生可以选择(B)组题，感知联系，运用数形结合的方法研究数值表示。从直观感知到数式研究相对照，有利于大多数学生主动建构知识，进而得出导数的几何意义。

fx0xf(x0)f(x0)

x

【探究一(B)】

1.已知曲线上两点P(x0,f(x0)),Pn(x0x,f(x0x))，求：

(1)结合两点坐标，割线PPn的斜率kn可表示为什么？

生：knfx0xf(x0)

x(2)结合x0，割线PPn→切线PT，则切线PT的斜率k可表

示为什么？

生：klimx0fx0xf(x0) x

2.你能发现导数的几何意义吗？

生：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k，fx0xf(x0)即：klimf(x0)

x0x要求学生善于归纳3.在上面的研究过程中，某点处的割线斜率与切线斜率与某点附和总结并深入体会知识近的平均变化率和瞬时变化率有何联系？

间的联系。 x0瞬时变化率

生：

平均变化率

x0切线的斜率

割线的斜率三、探索小结、重点讲评

1.获得导数的几何意义

借助实物投影仪，展示学习成果，学生经历了◆学生快速探究活动后，展示研究成果，教师重点讲评：

完整的探究过程后，教师割线PPn的斜率是knf(x0x)f(x0), (x0x)x0的讲评就可以有针对性和详略，学生也可以结合当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k，自己探究的体会更好地建构知识。

即

klimf(x0x)f(x0)f(x0)

x0x

切线PT的斜率k即为函数在xx0处的导数。

7

导数的几何意义：

f(x0x)f(x0)f(x0)lim曲线在xx0处的切线的斜率k

x0x

突破导数的几何意义这个学习重点。

师：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？

生：已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量。

问：切线ykxb中，如果k0，则切线有怎样的变化趋势？复习一次函数的增减性，为后面利用导数研如果k0呢？反之，由切线的变化趋势，能否确定斜率的情况？

生：k0，则切线呈上升趋势；k0，则切线呈下降趋势。由究函数的增减性埋下伏切线的变化趋势可以得出切线的斜率情况，也即该点处的导数情况。

笔。

2.了解以直代曲思想

把点P附近函数的图象放大，引导学生理解以直代曲思想是指某通过将曲线一点处点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故的局部“放大、放大、再可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线。

师：在某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势有何关系？如果切线的斜率为正，则该点附近曲线的增减情况怎样？

生：点P附近，曲线和该点处的切线的增减变化情况一致。如果切线的斜率为正，则该点附近曲线呈上升趋势。

PPP放大”的直观方法，形象而逼真地再现“以直代曲”思想。

渗透用导数的几何意义研究函数的增减性

至此突破学习重点和难点，用时约15分钟

四、知识应用、巩固理解

1.导数几何意义的应用

例题：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数见学案“学生活动”

优生可在完成【探索一】后提前进行知识的应用。

h(t)4.9t26.5t10的图象。

(1) h

要求学生动脑(审题),动手(画切线)，动口(讨论)，体会利用导数的几何意义及运用导数来研究函数在某点附近的单调性，渗透“数形结合”的思想方法，运用以直代曲的思想方法。

t

8 O

0.5

1.0

(2)

h

tO

问题1由具体的导数入手，熟悉导数的几何意义，帮助学生感知导数与函数单调性之间的联系。

问题2引导学生感知导数反映变化率的本质。

问题3运用导数的几何意义，借由切线的变化趋势，得出切线的斜率即该点处的导数的情况，进而判断函数的单调性。

t3t4

t0

t1

t2

【探究二(A)】

1．用图形体现h/(1)3.3，h/(0.5)1.6的几何意义。

2．导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？

3．请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

分析：附近：瞬时，增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬时．．．．．变化率，也就是导数。可借助切线的变化趋势得到导数的情况。

生：作出曲线在这些点处的切线，在t0处切线平行于x轴，即h(t0)0，说明在t0时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在t1,t2作出切线，切线呈下降趋势，即h(t1)0,h(t2)0，函数在点附近单调递减。曲线在t2附近比在t1附近下降得更快，则是

因为|h(t1)||h(t2)|。

【探究二(B)】

9

给出曲线上各点的切线的变化图，体会导数就是反映函数变化率的，借助曲线可以得出切线斜率的情况即该点处导数的情况。体会导数在研究函数增减和变化快慢的应用。

【探究二(B)】

1.运用导数的几何意义，描述h(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

2. 如何用导数研究函数的增减？

小结：附近：瞬时，增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬时．．．．．

引导优生进一步体会导数用来刻画变化情况的应用和拓展研究导数与函数增减的关系。

变化率，也就是导数。导数的正负即对应函数的增减。作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，就可

以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工

具。

同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲

线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性。都反应了导数是研究

函数增减、变化快慢的有效工具。

例题变式1：函数y3x2上有一点(x0,y0)，求该点处的导数f(x0)，

并由此解释函数的增减情况。

解：f(x0)limf(x0x)f(x0)x0x

3(x0x)2(3x02)lim3x0x变式题复习了导数的求法，加深学生对导数研究函数增减情况应用的认识，也是例题结论的进一步验证。

函数在定义域上任意点处的瞬时变化率都是3，函数在定义域内单调递增。(此时任意点处的切线就是直线本身，斜率就是变化率) 例题变式2：下图是函数yf(x)的图象，请回答下面的问题：

结合导数的几何意义说明单调性，学生进一步感知导数在研究函数变化情况中的应用。

【探究三(A)】

1.请指出函数的单调区间，并用导数的几何意义说明。

2),[2,1),[1,3),[3,5]

生：单调区间有：[5，

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作出区间内一系列的曲线的切线，发现切线呈现一致的上升或下降的趋势，即切线的斜率一致为正或负，所以导数值在单调区间内恒正或恒负，对应函数单调递增或递减。

【探究三(B)】

1.请指出函数的单调区间，并用导数的几何意义说明。

答案同上

2.根据上题的结论，研究某点处的导数值、切线的斜率和函数的单调性之间有何关系？

生：从数的角度：导数正负对应函数的增减，

从形的角度反映为切线斜率的正负对应函数的增减。

函数的增减

导数的正负 切线的斜率的正负

小结：

进一步体会用导数的几何意义解决问题，通过老师的小结，加深对导数本质的理解。

导数反映了函数的变化率，从图形上来看，表现为切线的斜率，

如果导数为正，则切线的斜率为正，切线呈上升趋势，曲线在该点附

近也是上升趋势，函数单调增；如果导数为负，则切线的斜率为负，切线呈现为下降趋势，曲线在该点附近也是下降趋势，函数单调减。

（至此时间约30分钟）

五、分层练习、提升能力

（定时不定量的练习，期望学生熟能生巧）

训练系统分三部分，即A、B、C三部分。教师指导学生根据个人知识掌握的程度，自由选择一组题目进行练习。每组题目都有基础题型以检测本节课的学习任务的完成情况。

第一部分(A)都是典型基础题，它包含选择题、解答题，题目编排由浅入深，增加了铺垫的设问，为基础较薄弱的学生引导思路。这部分题目的完成与否，标志着这节课新知识是否基本掌握。

第二部分(B)是基础题与综合题相结合，学生在掌握新知识应用及规范表达的基础上初步接触变式训练和综合训练。这组题的完成标志着学生已达到良好的学***。

第三部分(C)包含有综合、发展题，除了能综合运用知识外，还强调解题的灵活性和数学思维的敏捷性。这组题的完成标志着学生已达到优秀或冒尖程度。

课上选择不同学生的分层练习，用实物投影仪展示答案。针对典型题，讲思路，讲方法，学生可以课后再补充过程。拓展思维的不讲，学生自主钻研。

次日，把学生的练习卷收集上来及时进行统计分析、录入学生档案。教师分析学生的完成情况，易错点和难点，为今后的教学积累第

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长期的学生自选和老师指导相结合，学生可以选择适合自己发展的题组进行训练，以得到更好地发展。分层是不固定的，学生跟据自己的学习情况选择相应的练习。

C组题对应检测本节课的学习重点：了解和掌握导数的几何意义，可以运用导数的几何意义简单判断函数的增减性。

优生可以选择题目进行训练，提倡跳跃式选题训练和抓住关键部分进行局部训练，使优生可以避免重复、无效的练

一手的素材，及时调控教学，做到有的放矢。这些材料还可以在阶段习。

性的评价中作为学生自评的依据之一。每一周左右，学生可以自选最

佳习作存入学生成长记录中，作为自评的依据。

(至此时间约43分钟) 练习题见附注1 六、归纳总结、深化认识

这节课我们学习了哪些知识和方法？

学生进行开放式小结：（回顾学习的两个知识和数学思想方法）

(1)切线的定义：当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)逼近点P(x0,f(x0))时，即x0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定

剩余2分钟左右时间给学生总结本节课学习的知识和数学方法，教师投影进行补充，便于课后进行查漏补缺.

位置上的直线PT称为点P处的切线。

(2)函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义就是函数f(x)的图象在xx0处的切线的斜率。

数学思想方法：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法。

课后继续学习：

学生继续尝试课堂未完成的练习。

培养学生自我提高、自我发展的能力。

附注1：(课堂上通过学案《学生活动》给出)

巩固本节课的学习重点，落实教学目标。

学生课堂练习题

A组题

1.物体的运动方程是s2t2，则物体在t3时的瞬时速度为

2.(1)如图是函数f(x)的图象，请在图中作出曲线在

x4,2,1处的切线；

(2)根据切线变化情况，运用以直代曲的思想描述

函数在这些点附近的增减情况. 3.

已知函数f(x)满足f(1)5,f'(1)1；

(1)在坐标系中画出对应的函数图象上的点；

(2)根据导数的几何意义在图中作出曲线在该点处的切线；

(3)根据切线与该点处曲线的变化关系，画函数图象在该点附近的大致形状.

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B组题

1.如图，试描述函数f(x)在x5,2,0,1

附近的变化情况.（略写）

2.

根据已知条件，画出函数图象在该点附近的大致形状

(1)f(1)5,f'(1)1；

(2)f(5)10,f(5)0

3．(1)根据第3题，思考导数值为正时，函数图象在该点附近的增减情况如何？

导数值为负，为0呢？

(2)若导函数在某范围内值恒正，能说明函数的什么性质？

4. 曲线yx3上有一点M(1,1)，求函数在该点处导数，并说明函数图象在该点附近的增减情况。

变式一：求曲线yx3在点M(1,1)和N(2,8)处的导数分别为f(1)3,f(2)12，说明函数在这两点附近的增减和增减快慢的情况。

变式二：求曲线yx3在点M(x0,y0)处的变化趋势。

C组题

1.如图，试描述函数f(x)在x5,2,0,1

附近的变化情况.

2. 根据已知条件，画出函数图象在该点附近的大致形状

(1)f(5)10,f'(5)15；(2)f(10)20,f'(10)0

(3)体会导数值与函数图象变化有何内在联系？

3. 函数yx3图象上有一点M(1,1)，求函数在点M处的导数值，并说明函数图象在该点附近的增减情况。

变式一：求曲线yx3在点M(x0,y0)处的变化趋势；

变式二：已知函数yf(x)的定义域为[0,2]，对(0,1)区间内任意的x1，都有f(x1)0，

对(1,2)区间内任意的x2，都有f(x2)0，你能确定函数的单调区间吗?

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【评价分析】

教学反思： 本节课的学生学***的形成性评价，以学生的课堂练习作为主要依据，学生在课堂上完成了哪一部分练习，他这节课的学***的评价就定在这部分练习所代表的学***上。如果学生无法完成A部分练习，那么他这节课的学***是不及格，如果达到B的是良好，达到C的是优秀。教师分析学生的完成情况，易错点和难点，为今后的教学积累第一手的素材，及时调控教学，做到有的放矢。

为了更科学的反映学生学***的实际，学生每周收集一份本人认为最佳的习作，存入学生成长记录，留作自我评价的依据。如果加上这阶段的测试成绩，可转换成这阶段的终结性评价，终结性评价可以通过定性和定量的形式表述。

学生进行分层练习时，老师先关注后进生的学习情况，必要时给与指导。本着反映学生自身成长的目的，通过个人的学习发展情况作为评价的依据。

不同的学生可以根据需要进行有效的训练。对导数几何意义的理解和简单应用，掌握较好。对于高阶函数的导数的研究，学生不太擅长，可以在学习了函数的求导公式后，再进一步地加强。导数在研究函数性质方面的应用需要在后继学习中不断深入研究，加强知识的掌握，提升能力。

学生的学习评价

根据学生的练习情况，对导数的几何意义掌握较好，能借助导数研究函数的增减。综合题便于优生增强能力、训练思维，为后继学习引入导函数的概念奠定基础。

在教学中向学生提供充分的从事数学活动的机会，倡导自主探索、合作交流与实践创新，促进他们在活动的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。使不同层次的学生，各自争取更大限度的发展。

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