一、圆锥曲线的光学性质及其应用教学实录及点评

高中数学人教A版2003新课标

《圆锥曲线的光学性质及其应用》教学设计

贵州省大方县第三中学 吴

赟

一、教学内容解析

本节课内容是高中数学人教A版选修2-1中《圆锥曲线与方程》章后的一段阅读与思考材料,重点介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质以及它们在生活生产中的广泛应用。它是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学知识与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例。学生在教师的指引下，对材料进行充分地阅读并进行思考，查阅各类资料积累阅读与思考的成果，通过课堂进行分享与交流，既掌握了圆锥曲线的光学性质及其广泛应用，又学会了如何阅读与思考，在分享与交流过程中体验到学习的快乐，这对学生的今后学习、生活有着深远的意义。因为三种曲线的性质可以进行适当的类比，在教学中可突出其中一种曲线进行深入研究。本课重点探讨抛物线的光学性质及其应用，通过类比了解其他曲线的光学性质及其作用。

教学目标解析

知识与技能：了解三种圆锥曲线的光学性质，并能对抛物线的光学性质进行数学证明；能通过对一些生活现象的观察提出数学问题，再用数学的方法加以论证。

过程与方法：通过对圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学的抽象性及其广泛的应用性，同时用学到的数学原理进行创新设计的尝试。

情感态度与价值观：学会如何阅读、如何思考与数学有关的材料。

学情分析

学生已学完解析几何全部课本知识，对用解析法解决解析几何问题的思想、方法已基本掌握，另外，学生已学习过导数知识，因此能用导数工具求解切线斜率，同时了解光的传播的反射知识。信息时代的学生知识面比较广，并能熟练利用书籍、电脑搜索各方面的知识。

虽然人教A版课程中学生不学夹角公式、到角公式，以及初中时对角平分线性质定理也很少提及，但这些知识我已经给学生介绍过，这给光学的反射性质的数学证明带来一定的方便。当然为了突破这一难点，教师也可引导学生从光在平面上的反射入手，渐进到从圆心发出的光经圆反射从而得出光经抛物线反射的光路图，将两线平行最终转化为三角形两边相等，借助导数求出切线方程，得到证明；另一方面在论证上可以有所侧重，本课重点证明简单的抛物线的光学性质，对于双曲线、椭圆的光学性质的论证则留给学生课后自主探究。

教学过程设计

１．情境引入后，自然连接到提前布置阅读与思考任务：

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1）通过阅读，你从材料中得到哪些信息、结论？能复述吗？

2）通过阅读，你对圆锥曲线光学性质及其应用产生了哪些疑问？你是怎么解决的？还有哪些疑问没解决？

上课前，学生将自己的阅读与思考成果（疑问）写在白纸上，教师收集白纸并将不重复的成果展示，与学生共同将这些成果分类，分类结果板书。

【设计意图】学生有充裕的时间进行阅读与思考、查阅资料，得到大量的信息，产生大量的疑问。

2．分享阅读与思考成果

1）分享阅读与思考成果（信息、结论）

师：前几天，老师给大家布置了《圆锥曲线的光学性质及其应用》阅读与思考任务，并且带有两个问题：第一个问题：通过阅读与思考，你得到了哪些信息结论？第二个问题：你产生了哪些疑问？这节课我们一起来分享这些成果！首先来分享第一个成果！

生1：在学习圆锥曲线时只知道这些点为焦点，通过阅读我知道焦点是光线聚焦的点，有丰富的光学性质……

生2：通过阅读材料我知道了圆锥曲线的光学性质……

生3：通过阅读材料我知道了什么是抛物面、椭圆面、双曲面……

通过阅读与思考，我们每个同学都产生了许多疑问，不过有些同学的疑问是一样的，老师在上课前把大家交上来的疑问进行了分类、整理，现在我们一起来分享一下！

2）交流阅读与思考成果（疑问）

幻灯片呈现，师板书所有疑问，师生交流解决疑问。

交流一：从焦点发出的所有光都遵循吗？是不是跟射出的角度有关？所有的圆锥曲线都有这样的光学性质？比如抛物线，跟张口有关吗？波也有这样的反射效果吗？．．．．．．

学生感受：在阅读与思考过程中抓重点，对重点内容要读细；将知识进行扩展，把光的反射扩展到波的反射.，学习内容更加丰富了.... 【设计意图】学生体会到阅读与思考的成就感，学会如何阅读与思考。

交流二：从圆心发出的光经过圆反射后是怎么样的？为什么椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同？如何用导数证明圆锥曲线的光学性质？

学生感受：在阅读与思考过程中多问为什么；将知识进行了类比；生活中的好多现象其实可以用数学知识来解释的；碰到困难问题时从简单到复杂，从特殊到一般；坐标法解决几何问题……

【设计意图】学生体会到阅读与思考的成就感，学会如何阅读与思考；体会如何解决困难问题。

交流三：影片门是如何利用圆锥曲线的光学性质进行工作的？除了提及的应用外，还有哪些应用？有没有高科技的应用？

师生共同提炼光经圆锥曲线反射后的效果。

【设计意图】学生体会到解决问题要抓住事物的本质特征。

师提供：抛物线光学性质的应用

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探照灯、汽车远光灯：在抛物面反射器焦点上的一个小灯光，射到抛物面的光线所产生的亮度是没有抛物面反射器的光线亮度的6000倍左右。

射电望远镜：射电望远镜的天线大多是抛物面，是观测和研究来自太阳及其它天体的无线电波（射电波）的基本设备，卫星接收器等都是依据同一原理设计的。

椭圆光学性质的应用. 医学上：激光消痣与体外碎石技术。医学上用来对付肾结石，让人的肾结石位于椭圆的一个焦点的位置，在另一个焦点处释放的高能冲击波经椭圆面反射后集中在石头上，将其击

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碎，实现碎石.

3．双曲线光学性质的应用

转角镜、汽车后视镜：远处的物体在虚焦点前形成正立、缩小的虚像，可以反射大范围的缩小景观，主要用来扩大视野，口径相同的凸面镜视野比平面镜大。

4．圆锥曲线光学性质的综合应用

反射式天文望远镜：反射望远镜主要用于天体物理方面的工作，是天文望远镜中最常见的形式. 目前世界上最大型最优秀的望远镜都是反射式望远镜. 这种望远镜的特点是镜筒很短而观察天体运动又很清楚, 遥远的星体成像于焦点。

学生感受：要抓住事物的本质特征研究问题，要学以致用，要勤于思考……

课堂小结

阅读与思考：抓重点内容；重点内容读细；将知识进行类比、推广扩展；抓事物的本质特。

知识方面：圆锥曲线的光学性质；从焦点发出的光反射后的情形各不相同，既互相区别又互相联系。

方法方面：由特殊到一般；由简单到复杂；坐标法解决几何问题。

阅读与思考——课外再提升

问题：你能将圆锥曲线的光学性质进行组合，尝试设计一些作品吗？

问题：在圆锥曲线中能不能找到其它点也具备很好的光学性质？

有没有其它的曲线也具有类似的光学性质？

问题：如果不是从圆锥曲线的焦点发出的光，经圆锥曲线反射后会怎样呢？

【设计意图】课前阅读与思考，课中交流体会，课后升华阅读思考。

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