2.2.1 椭圆的标准方程教学设计思路

收稿日期：2018—12—26 作者简介：曹宗庆（1982—

），男，中学一级教师，主要从事中学数学教育教学研究. 身份证号码：230604198209234711 联系电话:13476178638 电子信箱:czq1982@163.com 邮编：430223 通信地址：湖北省武汉市东湖高新技术开发区汤逊湖北路特1号

华中师大一附中高中部

立足于“单元整体设计的研究性学习”课例

——“椭圆的定义和方程”教学设计与实录

曹宗庆（华中师范大学第一附属中学）

摘要：在梳理椭圆的定义和方程的数学史背景下，选择富有创意的教学方式，采取问题化，将数学“史学形态”转化为“教育形态”.实现了“核心素养导航、整体设计定位、数学史料引路”三位一体的教学设计策略.采取“教师提前一周发放《研究性学习学案》（以下简称《学案》），课前学生查阅资料自学、小组汇总学习成果；课中各组展示学习成果、教师引导拓展探究；课后继续课上未完成的探究”这样一种研究性学习方式进行. 关键词：椭圆定义；椭圆方程；数学史；单元整体设计；研究性学习

一、教学内容解析

本节课研究的是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学2—1（选修）》第二章“圆锥曲线与方程”第二节“椭圆及其标准方程”的内容.《普通高中数学课程标准》（实验）中，将本节内容安排在选择性必修课程“几何与代数”这一主题中.这一主题都是运用代数方法研究几何问题.在这一主题下的平面解析几何单元学习中，通过建立平面直角坐标系，先后研究了直线、圆、圆锥曲线的几何特征，导出相应方程；用代数方法研究它们的几何性质.这种数形结合的思想方法贯穿了这一主题研究的始终. 本节课立足单元整体设计。首先整合教材中与“椭圆的定义和方程”有关的内容，如【章引言】中提到的椭圆的起源、应用、研究方法；【探究与发现】中介绍的用旦德林双球证明椭圆上的点满足的几何性质；【例题与习题】中提到的椭圆的生成方式（主要表现为圆的伸缩变换、椭圆的第二、第三定义）；【阅读与思考】中介绍的椭圆的光学性质.所以本节课并不局限于建构出第一定义、推导出标准方程，还通过两个重要形式的方程蕴含的几何意义得到第二定义、第三定义。通过这种数形结合的方式建立了三个定义的关联.从而将三个定义和方程做为一个有机整体来研究.目的是使学生对“椭圆定义和方程”有一个整体的认识.其次本节课也为双曲线、抛物线提供研究方法与研究素材上的范式.目的是使学生了解研究“圆锥曲线定义与方程”问题的基本套路. 此外，在椭圆起源与发展的历史进程中，还有一些训练学生思维的教学资源（如：构造

法、化归与数形结合的思想）以及培养学生价值观的教育资源（如：古代数学家探求真理的理性与智慧）.本节课融入了椭圆的研究历史，将数学的“史学形态”转化为“教育形态”. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为:椭圆的定义与方程，坐标法的基本思想. 二、教学目标设置

1.学生了解圆锥曲线来由，体验其中蕴含的数学文化，重点提升直观想象等核心素养. 2.学生经历对“旦德林双球”模型的探究以及动手画椭圆的过程，抽象出椭圆的定义，重点提升逻辑推理和数学抽象等核心素养. 3.能依据定义推导椭圆方程，了解椭圆的生成方式及关联，提升数学运算等核心素养. 4. 能够运用“坐标法”解决问题，重点提升数学建模等核心素养. 三、学生学情分析

本节课的授课对象为华中师大一附中高二理科科技班学生，学生具有一定的自主探究与合作学习的能力.在必修内容“直线与方程”、“圆与方程”两章的学习中，学生已经初步掌握了运用“坐标法”来研究几何问题的方法. 日常生活中，学生对椭圆的大致形状已经有了一定的感性认识，但不清楚椭圆上的点满足的几何特征.本节课借助“旦德林双球”模型来研究椭圆上的点满足的几何特征.尽管学生已经学习了立体几何，但由于“旦德林双球”模型构造巧妙，位置关系、数量关系较多.所以学生不易从该模型中直接观察到椭圆上的点满足的几何特征.另外，学生已学习了求曲线方程的一般方法，但对于含两个根号的方程的化简与变形，学生之前很少接触，完成有些困难.

根据以上分析，本节课的教学难点确定为:椭圆定义的导出及方程推导，生成方式间的联系. 四、教学策略分析

1.本节课立足单元整体设计，研究了与“椭圆的定义和方程”有关的所有内容，容量很大.采取课前研究性学案（以下简称“学案”）引导学生自学、课上学生展示学习成果的研究性学习方式进行. 2.引导学生挖掘教材，比如说学生查阅教材中椭圆的生成方式、椭圆的光学性质等. 3.注重信息技术的有效融合.学生依据《学案》提示借助互联网查阅史料、学习利用立几画板制作“旦德林双球模型”来直观感知模型特点、观察猜想距离之和为定值.教师引导学生借助画板研究椭圆的生成方式. 4.学生对于借助“圆锥背景下的旦德林双球模型”证明性质感到困难，所以在《学案》中给出问题串提示，学生依据提示证明性质，降低了证明难度. 5.化简方程不局限于教材中的移项平方法，而是给学生足够思考的时间，重在探究不同的化简方法.对于完备性的证明，要通过化简方程等价变形来说明，由学生课后继续研究. 五、教学过程展示

提前一周发放学案,课中分小组展示学习成果.

1.探椭圆历史之旅

学生活动1：演绎历史短剧

剧中三个阶段（1）梅内克缪斯从计时沙漏中发现椭圆曲线，提出“用平面截三种不同的圆锥得到三种圆锥曲线.”（2）阿波罗尼奥斯提出“用平面截同一个圆锥得到三种圆锥曲线”，并用几何方法证明了重要的性质：椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值.但证明过程十分复杂.（3）旦德林构造双球模型，巧妙证明椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值.

【评析1】短剧重在体现曲线的发现过程.通过现代版夸张式的演绎将枯燥无味的数学

知识变得生动有趣，激发了学生兴趣.学生体验到椭圆发展历程的同时，感受到古代数学家

的理性与智慧，并且体会到巧妙的构造法.在这个过程中，提升了学生直观想象等核心素养. 2.研椭圆定义之理

（1）“史料引路”建构定义

师：数学家旦德林是如何利用双球模型来证明椭圆上的点满足的重要性质的呢？

学生活动2：证明椭圆上的点满足的重要几何性质.

①通过立几画板观察椭圆上的点A运动时，

|AE||AF|为定值（如图1）. ②依据《学案》的问题串提示证明|AE||AF|为定值. ③在立几画板中将平面抽取出来,观察点A运动时,|AE||AF|为定值（如图2）.

（图1） （图2）

师：依据旦德林双球模型特点，我们发现两个定点E,F与椭圆在同一平面内，从而将最初的借助于圆锥这一空间几何体研究椭圆转化为直接在平面内研究椭圆. 【评析2】这样设计的目的是使学生经历“直观感知模型特点、观察猜想距离之和为定值、再证明之和为定值”的过程，提升学生直观想象、逻辑推理等核心素养.渗透化归的思想同时也为后面直接在平面内画椭圆做了铺垫. 学生活动3：画椭圆完善性质的逆命题

①试验：

取一条长度为25cm的定长的细绳，将它的两端拉开一段距离，分别用钉子固定在图板的两点处，两钉子间的距离为20cm，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，看看画出的轨迹是什么曲线？若将两钉子间的距离调整到25cm，再看看画出的轨迹是什么曲线？距离调整到30cm呢？

②发现：常数等于两定点距离时，轨迹为线段；常数小于两定点距离时，轨迹不存在

③新知：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨

迹叫做椭圆（ellipse）.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 【评析3】数学中的定义都具有充分必要性.通过学生亲自动手画椭圆，使学生找到椭圆概念的充分必要条件.有助于培养学生严谨的科学精神，进一步提升学生的直观想象、数学抽象等核心素养.并在画椭圆过程中，感受到椭圆的对称性.

师：除了用绳子画椭圆，历史上荷兰数学家还提供了其它画椭圆的工具，如图3所示.请同学们课后查阅相关资料了解这些工具的结构，并证明为什么画出的曲线是椭圆.

舒腾的画椭圆的工具——椭圆规（图3）

【评析4】介绍历史上画椭圆的工具，拓宽学生视野并引导学生进一步探究.

（2）“折纸试验”运用定义

师：除了画椭圆，还可以通过折纸折出椭圆，几何画板展示折纸过程. 师：在圆形纸片内任取不同于圆心的一点M，将纸片折起，使圆周过点M，然后将纸片展开，就得到一条折痕（如图5），

这样继续折下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓就是 椭圆（如图6）.你能说一下为什么吗？

学生活动4：讨论、证明 （图4） （图5）

连接OF交IJ于A，则|AO||AM||AO||AF|r（定值）

且

r|OM|.由定义知，A点的轨迹是椭圆. 【评析5】应用定义探究由教材上的题目改编的折纸试验，学生体会到“做中学”的快乐.

椭圆就是这些折痕所在的直线族的包络. 3.推椭圆方程之道

（1）回顾方法

①师：我们是用什么方法来研究直线与圆两部分内容的？

生：坐标法

（创始人：笛卡尔、费马）

师：坐标法也是我们研究椭圆等圆锥曲线问题的主要方法.下面来我们推导方程.

②师：回顾求曲线方程的一般步骤？

生：建设限代化（证）

【评析6】引导学生回顾解析几何的研究方法与求曲线方程的一般步骤是关键. （2）推导过程（仅展示不用于教材的化简过程）（这句话删除）

生1：直接二次平方法：

222222222直接平方得(xc)y(xc)y2[(xc)y][(xc)y]4a

22222222化简得xyc[(xc)y][(xc)y]2a

2222222222整理得xyc(xyc)4cx2a

2222222222得(xyc)4cx2a(xyc)

平方得(x整理得a42y2c2)24c2x24a4(x2y2c2)24a2(x2y2c2)

a2(x2y2c2)c2x2，即(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

22x2y222ac,2a2c,ac0，

同除以a(ac)，得22，由即所以12aac2x2y2令bac，方程221(ab0)

ab22生2：移项后二次平方法：

2222由(xc)y2a(xc)y

2222222两边平方得(xc)y4a4a(xc)y(xc)y

222整理得acxa(xc)y 两边平方得a242a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2

2222222222x2y2整理得(ac)xaya(ac)，同除以a(ac)，得221

2aacx2y2由2a2c,即ac,所以ac0，令bac，方程221(ab0)

ab2222生3：因为

|PF1|(xc)2y2,|PF2|(xc)2y2

222222 所以

|PF1||PF2|[(xc)y][(xc)y]4cx

mn2a 记|PF

1|m,|PF2|n则22mn4cx 法一）将n2am代入m2n24cx，得max

cacx2y222 所以|PF1|ax(xc)y，化简得221

2aaac 法二）mn(mn)(mn)又mn2a

所以mn222cxc

得max，下同法一

aa

法三）设mad,nad则(ad)(ad)4cx

22 得dcxc22，所以|PF1|ax(xc)y，下同法一

aa 【评析7】在这个过程中，为简化运算，学生提出了不同的化简方法，产生思维碰撞，突破了难点.同时了解方程的来龙去脉，进而熟悉了方程的结构特点，突出了重点.在简化运算的过程中，学生的数学运算核心素养得到了提升. （3）渗透思想

师：这些方法的改进都是在简化运算.对于第3位同学的法二和法三就是古代数学家赖特的平方差法，洛必达的和差术.法二构造出mn的对偶式mn的式子，法三设mad,nad，这是一种具有对称形式的设法，可以理解为椭圆的对称性在代数形式上的一种体现. 【评析8】学生体会到方法中蕴含的参数思想、方程思想、对称及对偶的思想。将史学形态转化为教育形态. 师：焦点在坐标轴上，中心在原点的椭圆的方程叫做椭圆的标准方程. 【评析9】进一步熟悉方程，突出重点.

4.究椭圆生成之变

（1）学生展示

师：请小组展示一下教材中提到的椭圆的生成方式. 生：（教材41页例2）在圆xy4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足. 当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？（教材41页例3）设点A,B的坐标分别为(5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是224，求点M的轨迹方程.（教材47页例6）点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直9254的距离的比是常数，求点M的轨迹.（教材50页B组第1题）DPx轴，4522线l:x点M在DP的延长线上，且.当点P在圆xy4上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【评析10】这样设计的目的一是让学生了解椭圆的不同的生成方式.二是引导学生学会搜集、整合教材资源.三是学生由动点的轨迹方程判断生成的曲线为椭圆，进一步突出了本节课的重点——由方程识别曲线.

（2）画板辅助

师：这里有斜率之积为定值、距离之比为定值.那么定值变化后还是椭圆吗？ 教师利用几何画板演示：定值变化时曲线形状的变化.（如图6）

（图6）

【评析11】几何画板的展示使学生直观感受到定值的改变对曲线形状的影响，避免学生对生成方式产生错误理解.

(3)建立关联

师：生成方式不同，但生成的曲线都是椭圆.这些生成方式有没有更紧密的联系呢？我22们知道，方程往往蕴含着某种几何意义，比如说：方程(x1)(y1)1表示点(x,y)

与(1,1)的距离为1.我们来观察下我们在推导标准方程过程中产生的两个方程：a2cxa(xc)2y2

① (a2c2)x2a2y2a2(a2c2) ②

这两个方程是否蕴含着某种几何意义？这些几何意义与这几种生成方式是否有联系？

学生活动5：讨论、展示

(xc)2y2ca2对于①，因为

x0

，所以2acaxcca2表示点(x,y)到(c,0)的距离与点(x,y)到直线x的距离之比为常数

acyyc2a2c2对于②

xa时，()1

2xaxaaa22表示点(x,y)与(a,0),(a,0)两点连线的斜率之积为常数()1

2ca 师：这也是椭圆的第二、第三定义的一种表现形式.是以焦点在x轴，中心在原点的椭圆为例的.由第一定义推导方程，在这个过程中，发现了两个重要的方程，再由这两个方程蕴含的几何意义得到第二、第三定义.通过这种数形结合的方式建立了三个定义的关联. 【评析12】在打通三个定义的同时，进一步深化本节课的重点——数形结合的思想方法.提升了学生逻辑推理等核心素养. 5.赏椭圆曲线之用

（1）通过传说了解椭圆的光（声）学性质

观看“杰尼西亚的耳朵”这一传说的视频. 师：请你说一说这一传说的奥秘. 生：山洞内壁是一个椭圆形，囚犯和狱卒分别位于椭圆的两个焦点处，由椭圆的声学性质，囚犯发出的声音经过椭圆内壁反射后，会传到狱卒的耳朵.

【评析13】由神秘传说了解椭圆的光学性质，增加学生学习兴趣.并为后面运用坐标法解决问题做材料上的铺垫.

（2）利用方程研究椭圆几何性质

师：事实上，这只是“杰尼西亚的耳朵”传说的上半段，我们一起来看传说的下半段. 囚犯得知是狱卒偷听他们的谈话后，十分生气.于是想着要教训下狱卒，打算向上扔绳子打狱卒.囚犯走到崖底，大约40米.囚犯、狱卒、崖底大致在一条直线上，并测得沿与该直线垂直的方向到达山洞内壁，约64米.请你计算下，囚犯们用最短多长的绳子才能打到狱卒？你认为真的可以打到吗？

学生活动6：讨论、展示

以囚犯、狱卒所在的直线为x轴，囚犯、狱卒连线段的中点为原点建系，

x2y2设椭圆方程为221(ab0)

ab令y0，得xaac40

(ac)(ac)b2b264

令xc，得y，所以64即aaa易得c60.所以绳子最短要120米才能打到狱卒. 【评析14】此过程进一步深化了运用坐标法研究曲线问题，再次突出本节课的重点——方程和坐标法.提升了学生数学建模等核心素养.同时为下一节用方程研究性质做了铺垫. 总结

知识：椭圆定义方程 文化：椭圆研究历史

方法：坐标法 思想：数形结合 应用：数学源于生活，应用于生活

师：同学们我们在椭圆的应用中，得知椭圆的声学性质，你还想了解椭圆的其它性质吗？预知后事如何，请听下回分解. 课后探究

（1）

请了解舒腾使用的画椭圆工具的结构，并用代数方法证明画出的曲线是椭圆. （2）

请完成椭圆方程推导过程中的“完备性证明”. 参考文献：

【1】

中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（实验）【M】.北京：人民

教育出版社，2017. 【2】

汪晓勤，王苗，邹佳晨.HPM视角下的数学教学设计：以椭圆为例【J】.数学教育学报，2011，20（5）：20—23.