2.2.2 椭圆的几何性质教案设计范例

超级画板支持下“椭圆的简单几何性质”的教学设计

邓城（广州市增城区增城中学

511300）

1、教学难点分析

一是通过方程探究椭圆的几何形状学生才刚接触，二是对离心率的变化导致椭圆形状变化的准确理解有一定难度，三是椭圆几何性质中涉及到较多的动态变化问题，需要一定的教学手段辅助解决。

2、教育信息技术的选择

首先要明确的是不是所有课都需要运用上信息技术，也不是所有的解析几何内容都需要使用信息技术。但对于“椭圆的简单几何性质”这节教学内容，椭圆的范围和对称性不需要使用信息技术也没问题，使用的话就是更为便捷、容易测量和“可视化”，而对于离心率的变化导致椭圆形状的变化问题，不使用信息技术对于逻辑推理能力较好的学生来说当然也是没问题的，但对于思维能力和图形想象能力一般（尤其是对文科生）来说，完全不使用信息技术而非要学生通过对a,b,c的处理推出规律无疑是较为困难的，同时也压抑了学生学习和探索的积极性。另外如果不应用信息技术，那么教材（人教A版）中例6涉及的椭圆焦半径的变化规律也难以展示和深入探究。可见，在本节课中使用信息技术应用到教学中要比不使用更为科学和高效。

那么使用信息技术要用哪种数学软件更合适？当前应用较多的中学数学软件主要有几何画板、超级画板和GeoGebra，有些教学内容使用不同软件的教学效果都差不多，但有些教学内容使用不同软件还是有较大差别的（各个软件各有特长）。就这节课的教学内容来说，第一个方面，研究椭圆的的范围要先在坐标系中绘制椭圆，使用超级画板最直接和便捷，它有多种输入方式，满足各种需要。GeoGebra只能通过输入椭圆方程形式输入，较为不便，而几何画板就相对更加麻烦了。第二个方面，研究离心率的变化对椭圆形状的改变使用超级画板同样便捷、直观，而GeoGebra本身没有提供离心率、焦点等圆锥曲线专有名称和量，比较麻烦，几何画板同样如此。也就是说，GeoGebra和几何画板对有关圆锥曲线特有属性方面的支持不够，或是制作起来比较麻烦，不方便老师和学生运用，而超级画板在解析几何的各个方面均有丰富和强大的功能支持，因此在这节课选择超级画板是较为合理的，甚至可以说，在有关解析几何的其它应用方面，超级画板也是优先考虑的软件。

3、教学策略的选择

笔者近年来对应用超级画板到解析几何教学进行了一定的研究，提出了超级画板支持下解析几何教学的一系列策略：1、多方准备策略；2、问题驱动策略；3、互动调整策略；4、变式探究策略。这些策略大体上反映了解析几何教学任务的要求、教学内容的特征、教学方式的原则和教学效果的追求。一节完整的解析几何教学内容的课堂都可以按照这一系列策略来设计和执教，并可以取得较为理想的教学效果。下面具体说明本节课主要用到的策略：

第一是多方准备策略。

第二是问题驱动策略。

第三是互动调整策略。

第四是变式探究策略。

4、教学过程（节选）

（1）知识回顾

问题1：椭圆的标准方程是什么？

x2y2生：当焦点在x轴上时，椭圆方程为221，当焦点在y轴上时，椭圆方程为aby2x221。

2ab设计意图：引导学生回顾椭圆的标准方程，有利于巩固知识，并且为椭圆几何性质的探究做好知识铺垫。

（2）探究椭圆的范围

问题2：如果要剪裁一个椭圆纸片出来，需要至少多大的长方形纸片？

生：可以，只要长够2a长，宽够2b那么长就可以。

问题3：不错，任何一个给定的椭圆上是有范围限制的，这是从几何直观的角度。那能否从方程的角度看出范围？请以焦点在x轴的椭圆为例进行思考。

x2y2x2y2生：由椭圆方程221可知，21，21，所以有axa，byb。

abab师：不错。

教师应用超级画板移动椭圆上的点，测量表达出其坐标，范围确实如此。

师：有没有判断范围的其它思路？注意到有平方和等于1出现哦。

x2y2xx2y2生：还可以三角换元。221可写成()()1，这样可令cos，abaabysin，于是xacos[a,a]，ybsin[b,b]。

b（3）探究椭圆的对称性

图1

设计意图：加强学生对椭圆对称性质的理解和应用。F1、F2本身关于原点对称，这是个重要信息，再结合AB与CD平行，其中蕴含着新的对称信息和长度关系，学生通过观察不难发现AF1DF2，BF但如何证明还需学生稍微动点脑筋。如果学生没有反应1CF2，可以通过超级画板将OB旋转180（或是作点B关于原点的对称点）

（4）探究椭圆的离心率

师：椭圆四个顶点再加上对称性对我们有什么作用？

生：可以大概确定椭圆的图象形状。

x2y2x2y2x2问题4：请同学们画出椭圆1、1和y21并观察这三个椭圆16169164在形状上有什么不同？

设计意图：与教材中采用直接算出cc的值，然后对照椭圆的扁平程度得出的大小决aa定椭圆的扁平程度的处理方式不同（如图2所示），笔者认为学生在刚刚学习了椭圆的范围的基础上先固定a不变，变化b更能发现椭圆扁平程度的变化，也就是根据“最近发展区”的思想，让学生“跳一跳就可以摘到桃子”，也让学生探索的积极性得到保证。

图2

生：三个椭圆越来越扁。

师：没错，是什么原因？跟什么有关？

设计意图：先通过固定椭圆的长轴不变，改变短轴长度，让学生从图形角度观察变化情况，并得到初步的感性认识：长轴不变的情况下，短轴越短椭圆越扁。值得注意的是，教师应该先让学生自行画图观察并猜想，不要一下就使用超级画板来展示动画，这个学习环节难度不大，应让学生动手操作，形成一定的画图基本功，并进行推理想象。教师在学生得出结论后使用超级画板“验证”一下就可以了。这个任务对于超级画板来说是最简单的（但对于几何画板来说比较麻烦），操作过程是：先插入一个自定义变量b，范围选择在0到4之间，然后点击功能面板中的“圆锥曲线”，就会弹出产生圆锥曲线的多种方式，根据当前需要，x2y2确定长半轴长a4，短半轴长b的框输入刚才自定义的变量b，即绘制出椭圆116b2来，如图3所示。通过拖曳变量b改变其大小，椭圆即时跟随变化，非常直观。

图3

师：还有其它方法能让椭圆变扁吗？

生：固定短轴长度不变，让长轴变长。

师：不错，两个量的改变都可以改变椭圆的形状，能不能统一用一个式子表示？

生：可以用比值

bbb。当越大，椭圆越圆；当越小，椭圆越扁。

aaa师：总结得很到位！现在问题是有没有其它的量可以来衡量椭圆的扁平程度？比如说用上半焦距长c？c可是在讲椭圆概念时就出现过的。

问题5：探究c的大小能否决定椭圆的扁平程度？为什么？

a部分学生对于这个问题会感到困难。教师可以利用超级画板进行实验演示。第一个演示实验是借助讲椭圆的概念时已经讲过的椭圆的一种产生方式（也就是课本习题2.2的第7题）：圆O的半径为定长r，A是圆O内的一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O、A为焦点，长轴长为r的一个椭圆，如图4所示。在超级画板中固定r不变，移动A点使得OA变大时，即时，容易发现对应的椭圆变得越来越扁。

c变大a

图4

第二个演示实验是在超级画板中添加自定义变量a和c（ca），选择功能面板中的“圆锥曲线”绘制通过长半轴和半焦距确定的椭圆。然后调节c的大小，容易发现当a不变，c变大时椭圆变得更扁，或者当c不变，a变小时椭圆变得更扁，从而得到椭圆变扁。

问题6：c的值变大时ac能决定椭圆的扁平程度吗？

bbcc2c2a2b2a2生：由于()2，因为可以决定椭圆的扁平程度，所以()1abbbb2b也可以，但课本为什么不用它来表示扁平程度呢？

师：由于a和c是初始量，并且c可以形象地理解为焦点离开中心的程度，所以我们a把cc叫做离心率，用e表示。当然使用还会给研究圆锥曲线的统一性质带来方便，后面aa会提到。

师：数学上一给出新的量，一般就会研究其范围。请问离心率e的范围是多少？

生：因为0ca，所以0e1。

师：那当e趋向于0时，椭圆如何变化？e趋向于1时呢？

生：e趋向于0，椭圆越来越圆，e趋向于1时椭圆越来越扁。

教师用超级画板拖动离心率e演示椭圆的变化程度。

接着教师让学生完成例4和例5。