2.2.1 椭圆的标准方程多媒体教案及点评

2.2.1

椭圆的标准方程(一)

学习目标

1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的几何图形.

知识点一

椭圆的标准方程

思考1

在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？

答案

不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定. 思考2

若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？

答案

以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0).设P(x，y)，依题意得PA＋PB＝10,

所以x－32＋y2＋x＋32＋y2＝10，即点P的轨x2y2迹方程为＋＝1. 2516梳理

(1)椭圆标准方程的两种形式

焦点位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系

标准方程

x2y2＋＝1(a>b>0)

a2b2y2x2＋＝1(a>b>0)

a2b2焦点

F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距

2c

2c

椭圆在坐标系中的位置

标准方程

焦点坐标

a，b，c的关系

(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标. 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁y2x2大在谁上”.如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，54F2(0,1)，焦距F1F2＝2. 知识点二

用待定系数法求椭圆标准方程的步骤

x2y2＋＝1(a>b>0)

a2b2F1(－c,0)，F2(c,0)

y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2F1(0，－c)，F2(0，c)

b2＝a2－c2

类型一

求椭圆的标准方程

命题角度1

用待定系数法求椭圆的标准方程

111例1

求焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程. 332x2y2解

方法一

①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0). ab

依题意有1－20＋b＝1，221122332＋2＝1，ab

a＝5，解得1b＝4.221

由a>b>0知不合题意，故舍去. ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为

y2x2＋＝1(a>b>0). a2b2依题意有1－2a＋0＝1，221122332＋2＝1，ab

解得1b＝5.21a2＝，4

y2x2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1145方法二

设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). 则14n＝1，11m＋n＝1，99

m＝5，解得

n＝4.

所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，

y2x2故椭圆的标准方程为＋＝1. 1145引申探究

x2y2求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程. 259x2y2解

据题可设其方程为＋＝1(λ>－9)，

25＋λ9＋λ又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得

λ＝11(λ＝－21舍去)，

x2y2故所求的椭圆方程为＋＝1. 3620反思与感悟

(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0). x2y2x2y2(2)与椭圆2＋2＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0，b2>－λ)，与椭aba＋λb＋λy2x2y2x2圆2＋2＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0，b2>－λ). aba＋λb＋λ跟踪训练1

求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；

(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；

(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1). x2y2解

(1)设其标准方程为2＋2＝1(a>b>0). ab依题意得，2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，

x2y2∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 259(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，

9A＋4B＝1，则解得25A＋B＝1，

16B＝91.3A＝，91

x2y2故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 9191316x2y2(3)设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0). aba＝1，依题意得1b＝1，224

2a＝4，解得2

b＝1，

x22∴所求椭圆的标准方程为＋y＝1. 4命题角度2

用定义法求椭圆的标准方程

例2

已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程. 解

依题意得C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，

设M(x，y)，动圆的半径为R，

则MC1＝1＋R，MC2＝9－R，

故MC1＋MC2＝10>6＝C1C2，

据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16. x2y2故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1. 2516反思与感悟

用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值. 跟踪训练2

已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为4525和，33过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程. 解

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，

4525不妨取PF1＝，PF2＝，

33由椭圆的定义，知2a＝PF1＋PF2＝25. 即a＝5. 由PF1>PF2知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴. 2在Rt△PF2F1中，4c2＝PF21－PF2＝60，

95∴c2＝，

310∴b2＝a2－c2＝. 3又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，

x23y23x2y2故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 510105类型二

椭圆中焦点三角形问题

y2x2例3

(1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求54△F1PF2的面积；

x2y2(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若PF1＝4，求∠F1PF2的大小. 92解

(1)由椭圆的标准方程，知a＝5，b＝2，

∴c＝a2－b2＝1，∴F1F2＝2. 又由椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2a＝25.

22在△F1PF2中，由余弦定理得F1F2PF2cos∠F1PF2，

2＝PF1＋PF2－2PF1·即4＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2－2PF1·PF2cos 30°，

即4＝20－(2＋3)PF1·PF2，

∴PF1·PF2＝16(2－3). S△F1PF21PF1·PF2sinF1PF2

211＝×16(2－3)×＝8－43. 22x2y2(2)由＋＝1，知a＝3，b＝2，∴c＝7，

92∴PF2＝2a－PF1＝2，

22PF211＋PF2－F1F2∴cos∠F1PF2＝＝－，

2PF1·PF22又∵0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2＝120°. 反思与感悟

在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数. 在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义MF1＋MF2＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解. x2y2跟踪训练3

(1)在椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α，点P的坐ab标为(x0，y0)，求证：△PF1F2的面积S△PF1F2c|y0|btan证明

S△PF1F222.

1F1F2|y0|c|y0|.

2在△PF1F2中，根据椭圆定义，得PF1＋PF2＝2a. 2两边平方，得PF2PF2＝4a2. 1＋PF2＋2PF1·

①

②

2根据余弦定理，得PF2PF2cos α＝4c2.

1＋PF2－2PF1·①－②，得(1＋cos α)PF1·PF2＝2b2，

2b2所以PF1·PF2＝. 1＋cos α112b2sin α根据三角形的面积公式，得S△PF1F2＝PF1·PF2sin α＝··sin α＝b2·. 221＋cos α1＋cos αααα2sincossin222sin αα又因为＝＝＝tan，

αα21＋cos α2cos2cos22

所以S△PF1F2btan22.

x2y2(2)已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图).求△PF1F2的面积. 43

解

由已知得a＝2，b＝3，

所以c＝a2－b2＝4－3＝1. 从而F1F2＝2c＝2. 在△PF1F2中，由勾股定理可得

22PF22＝PF1＋F1F2，

2即PF22＝PF1＋4. 又由椭圆定义知PF1＋PF2＝2×2＝4，

所以PF2＝4－PF1. 从而有(4－PF1)2＝PF21＋4. 3解得PF1＝. 21所以△PF1F2的面积S＝PF1·F1F2

2133＝××2＝，

2223即△PF1F2的面积是. 2

1.椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________________. 答案

(0，－5)，(0，5) y2x2解析

椭圆方程可化为＋＝1，它的焦点位于y轴上，且c＝5，

83故两焦点坐标分别为(0，－5)，(0，5). x2y22.已知椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________. 20k答案

11或29 解析

当焦点在x轴上时，20－k＝32，解得k＝11；当焦点在y轴上时，解得k－20＝32，即

k＝29. x2y23.已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2,3)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C2516上一点，则PM＋PF1的最大值为________，最小值为________. 答案

10＋10

10－10 解析

由椭圆的定义，得PF1＝2a－PF2，

即PF1＝10－PF2，

所以PF1＋PM＝10＋PM－PF2. 由三角形中“两边之差小于第三边”可知，

当P，M，F2三点共线时，PM－PF2取得最大值MF2，最小值－MF2. x2y2由椭圆的标准方程＋＝1可得点F2(3,0). 2516又MF2＝2－32＋3－02＝10，

所以PF1＋PM取得最大值10＋10，最小值10－10. 4.求经过两点(2，－2)，(－1，14)的椭圆的标准方程. 2解

方法一

若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为

x2y2＋＝1(a>b>0). a2b2a＋b＝1，由已知条件得114a＋4b＝1，222242

2a＝8，解得2

b＝4.

x2y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 84y2x2若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0). ab同理得a2＝4，b2＝8，此时a2

设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B). 4A＋2B＝1，A＝8，14将两点(2，－2)，(－1，)的坐标分别代入，得解得1421A＋B＝1，4B＝4.

1

x2y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 84

1.椭圆的定义式：PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2).在解题过程中将PF1＋PF2看成一个整体，可简化运算. 2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决. 3.凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义MF1＋MF2＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.

40分钟课时作业

一、填空题

x2y21.椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值为________. m15答案

16或14 解析

由m－15＝±1得m＝16或14. 2.已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为________. 答案

1 y25解析

原方程可化简为x＋＝1，因为c2＝－1＝4，得k＝1. 5kk2x2y23.已知椭圆2＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的标准方程为________. a2x2y2答案

＋＝1 62解析

由题意知a2－2＝4，∴a2＝6，

x2y2∴所求椭圆的方程为＋＝1. 62πx2y24.设α∈(0，)，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为________. 2sin αcos απ答案

(0，) 4解析

由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1，

ππ∵α∈(0，)，∴0<α<. 245.过椭圆9x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的三角形ABF2的周长是________. 答案

4 x22解析

方程可化为＋y＝1，∴焦点在y轴上，且a2＝1，∴a＝1. 19∴△ABF2的周长为AF1＋AF2＋BF2＋BF1＝2a＋2a＝4a＝4. x2y26.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，2516则PM＋PF1的最大值为________. 答案

15 解析

由椭圆定义知PM＋PF1＝PM＋2×5－PF2，

而PM－PF2≤MF2＝5，

所以PM＋PF1≤2×5＋5＝15. x2y27.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标259原点，那么线段ON的长是________. 答案

4 解析

设椭圆的另一个焦点为E，则MF＋ME＝10，

∴ME＝8，又ON为△MEF的中位线，

1∴ON＝ME＝4. 2x2y28.已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆＋＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为_______. 49y2x2答案

＋＝1 83x2y2解析

椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且c＝9－4＝5，

49故所求椭圆的焦点在y轴上. 又∵它过点(3，0)，∴b＝3，a2＝b2＋c2＝8. y2x2故这个椭圆的标准方程为＋＝1. 83x2y29.“1

答案

必要不充分

m－1>0，xy解析

当方程＋＝1表示椭圆时，必有3－m>0，所以1

m－13－mm－1≠3－m，22

当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆. x2y210.若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF210064的面积是________. 答案

643

3解析

由已知得PF1＋PF2＝2a＝20，

2F1F2＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)2＝PF2PF2·cos 60°，

1＋PF2－2PF1·即144＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2，

256∴PF1·PF2＝，

3S△F1PF2二、解答题

1643PF1·PF2·sin 60.

23x2y211.点A在椭圆＋＝1上运动，B(－4,0)，C(4,0)，求△ABC的重心G的轨迹方程. 900324解

设G(x，y)，A(x′，y′)，

4＋x′，x＝－4＋3则y′y＝3，

x′＝3x，即

y′＝3y.

x2y23x23y2又点A在椭圆＋＝1上，∴＋＝1. 900324900324x2y2故所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0). 1003612.已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4 m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3 m，求这个椭圆的标准方程. 解

以两焦点所在直线为x轴，F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

x2y2则椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab依题意得，2a＝3,2c＝2.4，

故a＝1.5，c＝1.2，所以b2＝a2－c2＝0.81. x2y2所以这个椭圆的标准方程为＋＝1. 2.250.8113.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程. x2y2解

设所求椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0). ab设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0). →→∵F1A⊥F2A, ∴F1A·F2A＝0，

→→而F1A＝(－4＋c,3)，F2A＝(－4－c,3)，

∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.

∴F1(－5,0)，F2(5,0). ∴2a＝AF1＋AF2

＝－4＋52＋32＋－4－52＋32

＝10＋90＝410. ∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15. x2y2∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 4015