探究与发现 为什么是双曲线的渐近线主要内容及教案内容

x2y2b《为什么yx是双曲线221的渐近线》教学设计

aab浙江省宁海中学

赖庆龙

一、教学内容解析

本节课时《选修2-1》P62页的“探究与发现”.

二、教学目标设置

1.通过自主探究、交流分享，学生能得出明确的认识；

2.经历问题探究，学生能充分体悟“为什么”及其应用；

3.在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、转化与化归、特殊到一般等）的魅力。

三、学生学情分析

学生刚学完圆锥曲线，对双曲线的相关知识有了较好的基础，特别是渐近线有充分的认识。

重点：经历直观感知，能从图形上感受为什么是渐近线，通过代数论证能讲清“为什么”，同时能用代数论证证其唯一性；体会数形结合、转化与化归、特殊到一般等思想方法的重要价值，x2y2经历问题变式探究，得出二元二次方程220即为渐近线方程，进一步强化该方程的应用。

ab

x2y2b难点：能用代数方法证明yx是双曲线221的渐近线及其唯一性。

aab四、教学策略分析

1.本节课的框架设计

环节1：复习回忆

环节2：自主探究，交流分享

环节3：变式探究，交流分享

环节4：归纳总结，作业巩固

2.对教学方法和手段的分析

本节课的教学主线是：引导思维，方法归纳，学生活动。教学过程中充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式。在问题探究，及探究的应用中，注重引导学生建立“已知”与“待证”间的“关联”。另外，注重渗透数形结合、转化与化归、特殊到一般等数学思想。通过课堂小结与感悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进一步增强教师引领的辐射作用。

五、教学过程

（一）复习引入

定义：若曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时,点P与定直线L的距离趋于0时,则称定

直线L为曲线C的渐近线. x2y21的图象? 问题1：如何较准确地作出4设计意图：一方面指导学生如何准确作出双曲线的图象,另一方面强调渐近线也能刻画双曲线的开口?为引入课题作铺垫.

x2y2b问题2：为什么yx是双曲线221的渐近线？

aab问题3：除了ybx这两条渐近线还有没有其它的渐近线？

a设计意图：让学生带着这两个问题展开探究,点燃学生探究的热情. x2y2b（二）探究1：为什么yx是双曲线221的渐近线？

aab先几何画板动态演示,让学生直观感受双曲线上的点在第一象限无限接近于直线y出问题,如何从代数角度进行论证？

证法1：比较纵向距离;证法2:证明双曲线上第一象限的点到直线ybx,顺势提abx的距离趋于0. ax2y2b探究2：yx是双曲线221唯一的渐近线

aab引导学生先观察图象，直观感知

然后代数论证. 探究3：

①

思考：渐近线是yx的双曲线方程是什么？有几个？

x2y2②

思考：方程22对应的渐近线方程是什么？

abx2y2③

思考：方程220的含义是什么？有什么用？

abx2y2方程220的应用：

abx2y2例.(2014年16题)设直线x3ym0(m0)与双曲线221的两条渐近线交于点A,B, ab

若点P(m,0)满足PAAB,求该双曲线的离心率. 探究4：我们知道x轴及y轴是反比例函数yk(k0)的两条渐近线,且由方程我们知道

x

xyk这一性质,对于双曲线有什么启发？旨在启发学生利用类比思想,探究并证明

双曲线上的点到两渐近线的距离之积是一个常数. (三)课堂小结.