探究与发现 为什么二次函数v=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线优秀教学设计

2《为什么二次函数yaxbxc(a0)的图像是抛物线》教学设计

教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）

选修2-1 第二章习题2.4“探究与发现”

一．教学背景

1.本次探究学习是在“圆锥曲线与方程”基本教学结束后，学生对抛物线的知识已经有了一定的基础。

2.二次函数早在初中就已经学习和应用，学生基本已经掌握。

3.学生的数形结合能力和数学实用性需要提升。

4.在经历了高一的学习和锻炼，学生的学习能力和计算能力已经得到了明显提升，思维能力还需要继续加强，自主学习能力还要加大培养。针对本班学生的基础能力和教学资源，我将使用PPT、几何画板、直尺等进行教学演示，使学生易于理解和接受。

二．教学目标

1.知识与技能

理解抛物线的定义，清楚抛物线的图像和标准方程，熟悉二次函数的图像和特性，能判定二次函数图像是抛物线。

2.过程与方法

通过已经理解和掌握的抛物线定义对二次函数进行推导，以抛物线定义和方程式入手探究，得出二次函数的图像为抛物线这个结论。加深学生对数形结合的应用，培养学生在解决数学问题时能够具备观察，类比，分析，计算的能力。

3.情感、态度、价值观

培养学生的探究精神，提升学生数学情怀，让学生进一步体会数形结合思想，

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将初中知识与高中知识进行串联，加强学生自主学习能力。

4.教学重点、难点

①教学重点：

掌握抛物线的基本定理及基本方程，清楚抛物线的图像特征、二次函数图像与抛物线的图像的联系，学会自主学习和探究，能体会数形结合的魅力。

②教学难点：

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用适当的方式将二次函数yaxbxc(a0)转化为抛物线标准方程的形式。2引导学生通过抛物线基本定义说明二次函数yaxbxc(a0)

的图像是抛物线。

三、教学过程

1.情景引入

在多媒体PPT上展示一组抛物线的图像，让学生观察特征，然后再展示一组二次函数的图像，对比二次函数的图像与抛物线的图像。

师生活动

2x2py

【教师】提出问题：二次函数yaxbxc(a0)的图像与抛物线22（p>0）的图像由什么决定？二次函数yaxbxc(a0)的

图像是抛物线吗？

【学生】思考、回答。

设计意图

回顾二次函数图像的与参量之间的关系，对比抛物线，引出主题。

2.问题形成

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为什么二次函数yaxbxc(a0)的图像是抛物线？

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师生活动

【教师】向学生提问：同学们希望从什么方向入手，说明二次函数yax2bxc(a0)的图像就是抛物线？

【学生】思考、回答。{老师引导从方程的形式上入手}

3.过程演示：

回顾初中数学知识，大家都还记得我们常常讲二次函数yax2bxc(a0)的图像是抛物线，如今我们刚好讲了抛物线的知识，大家2试着说明一下，为什么二次函数yaxbxc(a0)的图像就是抛物线呢？

提问:大家说说我们可以从什么方向入手来说明问题? 2【学生】抛物线的标准方程为：x2py，而二次函数的方程为：

yax2bxc(a0)如果我们能够将二次函数式子和抛物线的标准方程的关系找到就可以说明问题。

我们知道我们能够从二次函数的顶点式找到它的图像的一些信息，比如：“顶2点”，“对称轴”等。现在我们对二次函数yaxbxc(a0)进行配方化成顶b4acb2点式：yax从而我们可以画出图像。

2a4a2如图：

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而抛物线的图像如图：

当我们把两个图像画在一个直角坐标系里面可以观察到二者的关系。

如图：

b4acb2)平移到O点得到函数

我们发现二次函数图像始终可以通过PO(,2a4a

yax2的图像，而yax2可以改写成x211y，即p的一个抛物线标准方程，这a2a1是顶点为坐标原点，焦点为0，的抛物线。

4a2因此，二次函数yaxbxc(a0)的图像是一条抛物线。

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2【提问】老师：你还有其它方法说明二次函数yaxbxc(a0)的图像是抛物线吗？

【回答】学生：可以通过抛物线的几何特征来说明。

【提问】老师：抛物线的几何特征是什么？

【回答】学生：平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线。

2老师：回答的非常好。然而对于二次函数yaxbxc(a0)来说这个定点（焦点）在哪儿？那条定直线（准线）又在哪里？

【学生讨论】结合图像我们进行探讨：

2学生讨论结果：二次函数yaxbxc(a0)的图像是一个轴对称图形

所以我们需要确定的顶点应该在它的对称轴上，并且定直线应该和对称轴垂直。只有这样才可能满足抛物线的几何特征。

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接下来我们需要做的就是说明存在这样的点吗？存在这样的直线吗？如果存在找出它们，就可以说明问题了。

如图：我们假设定点为F

b,y1，定直线为ym。抛物线上任意一点Px0,y0。连2a接PF,过点P作PD垂直L交L于点D。下面求当PF=PD时，是否m和y1有解。

当P点在二次函数图像的顶点时，此时PF=PD,可以找到y1和m的关系。

4acb24acb24acb2m（定直线在顶点以下）有y1。∴my12。如图：4a4a4a

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4acb2y1

∵P在二次函数图像上，∴y0axbx0c(a0)，PD=y0m，m2a20b4acb22∴PD=y0y1，PF=x0(y0y1)，

2a2a2b4acb214acb214acb21∴当PD=PF时，解得y1，m。∴F-2a,4a4a为4a4a4a4a4acb21为其准线方程。

其焦点坐标。x4a4a∴可得二次函数的图像为抛物线。

练习：二次函数y2x23x4的图像为抛物线，求抛物线的焦点坐标和准线方程？

作业：思考题，你还有其它方法说明这个问题吗？

总结：通过本堂课程的学习，我们学习了如何从问题的根本出发去探究问题，培养良好的逻辑推理能力和缜密的思维能力。让学生喜欢思考，喜欢探究，养成良好的自主学习能力。

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