1.3.1 且（and）优质课教案

[学习目标]

1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.

知识点一

且

“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∧q.

知识点二

或

“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∨q.

知识点三

非

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”.

知识点四

含有逻辑联结词的命题的真假判断

p 真

真

假

假

思考

(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？

(2)命题的否定与否命题有什么区别？

答案

(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有. (2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论. q 真

假

真

假

p∨q 真

真

真

假

p∧q 真

假

假

假

綈p

假

假

真

真

题型一

p∧q命题及p∨q命题

例1

分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假. (1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；

(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；

(3)p：3是无理数，q：3是实数；

(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等. 解

(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；

∵p真，q假，∴p∧q为假. p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；

∵p真，q假，∴p∨q为真. (2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；

∵p真，q真，∴p∧q为真. p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；

∵p真，q真，∴p∨q为真. (3)p∧q：3是无理数且是实数；

∵p真，q真，∴p∧q为真. p∨q：3是无理数或是实数；

∵p真，q真，∴p∨q为真. (4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；

∵p真，q真，∴p∧q为真. p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；

∵p真，q真，∴p∨q为真. 反思与感悟

(1)判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断. (2)判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假. 跟踪训练1

指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：

(1)李明是男生且是高一学生. (2)方程2x2＋1＝0没有实数根. (3)12能被3或4整除.

解

(1)是“p且q”形式. 其中p：李明是男生；q：李明是高一学生. (2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有实根. (3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.

题型二

綈p命题

例2

写出下列命题的否定形式. (1)面积相等的三角形都是全等三角形；

(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；

(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0. 解

(1)面积相等的三角形不都是全等三角形. (2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零. (3)若xy＝0，则x≠0且y≠0. 反思与感悟

綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等. 跟踪训练2

写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：y

＝

sin x

是周期函数；

(2)p：3＜2；

(3)p：空集是集合A的子集；

(4)p：5不是75的约数. 解

(1) 綈p：y

＝

sin x不是周期函数.命题p是真命题，綈p是假命题；

(2) 綈p：3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题；

(3) 綈p：空集不是集合A的子集.命题p是真命题，綈p是假命题；

(4) 綈p：5是75的约数.命题p是假命题，綈p是真命题.

题型三

p∨q、p∧q、綈p命题的综合应用

例3

已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围.

解

命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于

Δ＝4a－4≥0，x1＋x2>－2，x1＋1x2＋1>0，解得a≤－1. a>0，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，等价于a＝0或

Δ<0.a>0a>0，由于⇔2解得0

Δ<0a－4a<0，2

a－1≥0，⇔－2a>－22－2a>0，2

，

所以0≤a<4. 因为“p∨q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，

a≤－1，所以解得a≤－1. a<0或a≥4，

故实数a的取值范围是(－∞，－1]. 反思与感悟

由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假，反之，由p∨q，p∧q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集. 跟踪训练3

已知命题p：方程x2＋ax＋1＝0有两个不等的实根；命题q：方程4x2＋2(a－4)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围. 解

∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假，

由a2－4>0得a>2或a<－2. 由4(a－4)2－4×4<0得22或a<－2，①若p真q假，则有

a≤2或a≥6，

∴a<－2或a≥6；

－2≤a≤2，②若p假q真，则有通过分析可知不存在这样的a. 2

综上，a<－2或a≥6.

分类讨论思想的应用

例4

已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，命题q：函数f(x)＝

(3－2a)x是增函数.若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围. 分析

首先求出p，q为真时a的取值范围，然后利用命题的实际真假列不等式组求解. 解

设g(x)＝x2＋2ax＋4. 因为关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上，且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0，所以－2＜a＜2. 又因为函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，所以3－2a＞1，即a＜1. 又因为p∨q为真，p∧q为假，所以p和q一真一假. －2＜a＜2，若p真q假，则所以1≤a＜2；

a≥1，a≤－2或a≥2，若p假q真，则所以a≤－2. a＜1，

综上所述，实数a的取值范围是1≤a＜2或a≤－2. 解后反思

由p，q的真假，可以判断“p∨q”“p∧q”的真假；反之，由“p∨q”“p∧q”的真假，也能推断p，q的真假，如“p∧q”为假，则包括“p真q假”“p假q真”“p假q假”三种情况.

1.命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则(

) A.p真q假

C.p∨q为假

答案

D 解析

命题p假，命题q真. 2.给出下列命题：

①2>1或1>3；

②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；

③25是6或5的倍数；

④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集. 其中真命题的个数为(

) A.1

B.2

C.3

D.4 答案

D 解析

①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；

②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；

B.p∧q为真

D.p假q真

③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；

④由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题. 3.已知命题p1：函数y＝2x－2x在R上为增函数，

－p2：函数y＝2x＋2x在R上为减函数. －则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，为真命题的是(

) A.q1，q3

C.q1，q4

答案

C 解析

p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；

∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，

∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题. ∴为真命题的是q1，q4. 4.已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是(

) A.p假q真

C.“p∧q”为真

答案

B 解析

由(x＋2)(x－3)<0得－2

∵1∈(－2,3)，∴p真. ∵∅≠{0}，∴q假，

∴“p∨q”为真. 5.若p是真命题，q是假命题，则(

) A.p∧q是真命题

C.綈p是真命题

答案

D 解析

根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.

1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个. 2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：

(1)逐一判断命题p，q的真假. (2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假. B.p∨q是假命题

D.綈q是真命题

B.“p∨q”为真

D.“綈p”为真

B.q2，q3

D.q2，q4

p∧q为真⇔p和q同时为真，

p∨q为真⇔p和q中至少一个为真. 3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁Up.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真. 4.注意区别命题的否定与否命题，命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件.