3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示板书设计

3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

学习目标: 1．了解空间向量的正交分解的含义．

2．掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题．

3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标. 重点难点

重点：空间向量基本定理的应用；

难点：应用空间向量基本定理解决问题.一、空间向量基本定理

1．定理：

条件：三个向量a，b，c ．

结论：对空间任一向量p，存在有序实数组 ，使得p＝ 2．基底：空间中任何 的三个向量a，b，c都可以构成空间的一个基底，即 ．

3．基向量：空间的一个基底{a，b，c}中的向量 都叫做基向量．

二、空间向量的正交分解及其坐标表示

1．单位正交基底：

三个有公共起点O的 的单位向量e1，e2，e3称为 ．

2．空间直角坐标系：

以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz. 3．空间向量的坐标表示：

对于空间任意一个向量p，一定可以把它 ，使它的起点与原点O重合，→得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把

称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为 ．

例题讲解：

→→→【解】

假设OA，OB，OC共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，→→→使OA＝xOB＋yOC成立．

∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)．

＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，

∴e1，e2，e3不共面，

－3x＋y＝1，∴x＋y＝2，2x－y＝－1，

→→→此方程组无解，即不存在实数x，y，使OA＝xOB＋yOC成立．

→→→∴OA，OB，OC不共面．

→→→故{OA，OB，OC}能作为空间的一个基底．

练习1：

已知a、b、c是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是(

) A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a

C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c

【例2】

如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，点M、N分别是面A1B1C1D1和面→→→→AA1D1D的对角线的交点，请选取适当的基底表示向量CM、CN、CA1、MN.

→→→→→→【分析】

因为CM，CN，CA1有公共起点C，故可选CB，CD，CC1为空间向量的一组基向量，以达到最简化的表示．

→→→→→→【解】

选取{CB，CD，CC1}作为空间向量的一个基底，设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则

→→→→→→1CM＝CC1＋C1M＝CC1＋(C1B1＋C1D1) 2→→→111＝(CB＋CD)＋CC1＝a＋b＋c，

222

→→1CN＝CC1＋C1D1＋D1N＝CC1＋CD＋(D1D＋D1A1) 2→→→1111＝D1A1＋CD＋CC1＝a＋b＋c，

2222→→→→CA1＝CC1＋C1D1＋D1A1＝c＋b＋a，

→→→111111MN＝CN－CM＝(a＋b＋c)－(a＋b＋c)＝b－c. 222222→→→练***行六面体OABC－O′A′B′C′，OA＝a，OC＝c，OO′＝b，D是四边形OABC的对角线交点，则(

) →→11A.O′D＝－a＋b＋c B.O′D＝－b－a－c

22→→1111C.O′D＝a－b－c D.O′D＝a－b＋c

2222→→→→→→1111解析：O′D＝O′O＋OD＝O′O＋OA＋OC＝－b＋a＋c. 2222【例3】

如下图所示，已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面→ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，且PA＝AD，求向量MN的坐标．

→→→→→→

【分析】

空间向量的坐标源于向量的正交分解，如果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向量的坐标．

【解】

设正方形的边长为a，∵PA＝AD＝AB，

且PA，AD，AB两两互相垂直，

→→→故可设DA＝ai，AB＝aj，AP＝ak. 以i，j，k为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．

方法一：

→→→→→→→→→→→→1111∵MN＝MA＋AP＋PN＝－AB＋AP＋PC＝－AB＋AP＋(AD＋AB－AP) 2222

1111＝－aj＋ak＋(－ai＋aj－ak)＝－ai＋ak，

2222→11∴MN＝(－a,0，a)．

22方法二：

∵P(0,0，a)，C(－a，a,0)，

111∴N点的坐标为(－a，a，a)．

222→111∵M点的坐标为(0，a,0)，∴MN＝(－a,0，a)．

222练习3：

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝1，CC1＝2，M为A1B1的中点．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x轴，y轴，z轴，→→建立空间直角坐标系(如图所示)，则AB1的坐标为____，MB的坐标为__．

解析：A(1,0,0) B(0,1,0) 11B1(0,1,2) M(，，2) 22→→→→11AB1＝CB1－CA＝(－1,1,2) MB＝(－，，－2)．

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