6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质第二课时教学实录

上海市金汇高中高二数学导学单

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日期______

6.3（3）在给定区间上函数y=asinx+bcosx的最值单调性

班级：____________ 姓名：____________ 学号：______________ 一、学习目标: 1、

理解函数yasinxbcosx(a0,b0)与函数yAsin(x)的内在联系；

掌握函数yasinxbcosx(a0)最值、值域、单调区间的求解方法；

充分认识函数yAsin(x)的对称性，掌握函数yasinxbcosx(a0)

的对称轴方程及参数求解方法；

2、

通过函数yasinxbcosx与yAsin(x)的互化，体会化归思想及分解与组合的思想方法，培养学生的理解能力、抽象概括能力；

3、在自主探究的过程中培养学生的独立意识和独立思考能力，在小组交流中学会合作学习，在解决问题难点时培养学生能够抓住主要矛盾，再深入问题探究问

题，培养学生科学的学习态度和勇于探索的精神；

二、学习过程：

1、辅助角公式复习：

1、辅助角公式可以帮助解决形如f(x)asinxbcosx(a0,b0)的函数问题

公式：asinxbcosxa2b2sin(x)，

cos其中由sin2、应用：

aa2b2ba2b2确定，通常[0,2)，

（一）定义域的改变：

例1、

当2x2时，求函数f(x)sinxcosx的最值、值域、单调区间

解：此函数可化为：f(x)

（由代换思想）令tx2sin(x)，x

4224，t3,

44

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可得函数y2sint，t

所以，①当t3,，作图得：

441.510.5--2-141B2343-0.5-1时，ymax2，此时xx

2424

当t时，ymin2sin()1，此时xx

44442-1.5

②该函数的值域为[1,2]

③由图得：4t24x422x4

该函数的单调递增区间为,，单调递减区间为,

2442巩固练习：已知f(x)2cos2x3sin2xa（aR为常数），若x[0,的最大值是4，求a的值并求单调递增区间

环节小结1：1、定义域的改变将影响到函数的最值、值域和单调区间。

2]时，f(x)2、求解方法：利用换元法将函数化归为yAsint型，再画出函数yAsint的图像，找到t的取值范围上的图像部分，最后还原到x的取值问题。

3、注意解题的规范性，它可以帮助你形成正确的流畅的思维方式。

（二）参数a，b的作用：

由练习知sinx和cosx前的参数a，b直接影响了函数的最值、值域和单调性。

除了这些性质，三角函数还有一些重要性质，如对称性。

例2、

已知函数f(x)sinxacosx的图像关于直线x[方法一]：（利用最值）

解：原函数可化为f(x)1a2sin(x)，xR

4对称，求a的值

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可得：f(x)的最大值为1a2，最小值为1a2

由题意可知：当x4时，函数f(x)取到最值，即有：f(4)1a2

即得：22a1a2，计算可得：a1

22

[方法二]：（利用特值法）

解：

函数f(x)sinxacosx的图像关于直线x4对称

点(0,f(0))与点(,f())一定关于直线x对称

224故有

f(0)f(2)，代入计算可得：a1

[方法三]：（利用对称轴）

[分析]：函数f(x)关于直线xz对称的充要条件是f(zx)f(zx)对定义域内的任意x恒成立。或写成另一形式：f(x)f(2zx)对定义域内的任意x恒成立

解：由题意得：f(

即得：sin(4x)f(4x)对任意实数x恒成立

x)sin(44x2sixna1

2asin

x)acos(4x)acos(4x)

环节小结2：1、函数f(x)asinxbcosx的参数a和b与函数的对称性有关。

2、解题方法：利用对称轴的性质。方法一，是将函数变形化归为yAsint型，再利用正弦函数的对称轴过曲线的最高点或最低点的特点解题。方法二和方法三，都是利用轴对称的图形特点——关于直线l:xz对称的两点P其直线1(x1,y1)和P2(x2,y2)，x1x22zl是线段PP的中垂线，即有关系。后两种解法具有一般性。

12yy12y

p1o(x1,y)p2(x,y)2xx=z

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三、小结：

今天我们重点讨论了f(x)asinxbcosx(a0)的最值、值域和单调区间，以及此类函数的对称性问题。换元法，数形结合思想是解好题的金钥匙，熟悉基本函数图像特征是解好题的关键。若a0时，则提取负号，转换为a0时情况解决即可。