正弦定理、余弦定理和解斜三角形教案公开课一等奖

解三角形

【目标】

1、知识与技能：回顾正弦定理、余弦定理的内容及其证明方法。

2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与角的关系，并合理运用定理解决问题，体验数学发现和创造的历程。

3、情感态度与价值观：通过学生自主探索、合作交流，亲身体验“发现数学问题解决途径”，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。

重点：解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化，合理运用正弦定理、余弦定理解决问题。

难点：综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力

【基础练习】

4

6.1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝



32．在ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则B的大小是______________. 3．在△ABC中，若tanA

【范例解析】

1，C150，BC1，则AB

310

2

．

C2A，cosA例1.

在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知ac20，c的值；（2）求b的值．

a分析：利用C2A转化为边的关系．

csinCsin2A32cosA．

解：（1）由asinAsinA2（1）求3．

4ac20,a8,222（2）由c3得．由余弦定理abc2bccosA

.c12.a22得：

b18b800，解得：b8或b10，

若b8，则AB，得A4，即cosA23矛盾，故b10．

24点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．

1

例2.在三角形ABC中，已知(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)，试判断该三角形的形状．

解法一：(边化角)由已知得：a[sin(AB)sin(AB)]b[sin(AB)sin(AB)]，

化简得2a2cosAsinB2b2cosBsinA，

由正弦定理得：222222sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA，即sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0，

又A,B(0,)，sinAsinB0，sin2Asin2B．

又2A,2B(0,2)，2A2B或2A2B，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．

22解法二：(角化边)同解法一得：2acosAsinB2bcosBsinA，

222b2c2a22acbba由正余弦定理得：ab，

2bc2ac222222222整理得：(ab)(cab)0，即ab或cab，

即该三角形为等腰三角形或直角三角形．

点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．

例3.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=，∠ABC=. （1）证明：sincos20；

A （2）若AC=3DC，求．

分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系.

（1）证明：α

C，C2B，22，

B β

例4 D C sincos20

（2）解：AC=3DC，sin3sin3cos223sin23.

3(0,)，sin，.

232点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值.

2

例4 .如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船北

相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？

分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．

解法一：如图(2)，连结A1B2，由已知A2B2102，

120

A2

B2

B1

乙

北

105

A

1甲

A1A230220102，A1A2A2B2，

60例1（1）

又∠A△A1A2B2是等边三角形，

1A2B218012060，A1B2A1A2102，

由已知，A1B120，∠B1A1B21056045，

在△A1B2B1中，由余弦定理，

120A

2B2

105B1

乙

例1（2）

A1

甲

22B1B2A1B12A1B22A1B1A1B2cos45202(102)22201022200．

2B1B2102．因此，乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行302海里．

解法二：如图（3），连结A2B1，

由已知A1A23021B120，A102．

60302（海里/小时）北

20120A

2B2

20102，∠B1A1A2105，

60105

B1

A1

甲

乙

例1（3）

cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin602(13)，

42(13)．

4sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60在△A2A1B1中，由余弦定理，

2A2B12A1B12A1A22A1B1A1A2cos105

3

(102)22022102202(13)100(423)．

4A2B110(13)．

由正弦定理sin∠A1A2B1A1B120sin∠B1A1A2A2B110(13)2(13)2，

422(13)．

4∠A1A2B145，即∠B1A2B1604515，cos15sin105在△B1A2B2中，由已知A2B2102，由余弦定理，

22B1B2A2B12A2B22A2B1A2B2cos15102(13)2(102)2210(13)1022(13)200．

4B1B2102，乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行302海里．

102．

60302（海里/小时）20点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．

【课后练习】

33

．

1．在ABC中，AB3,A450,C750,则BC =_____________2．ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c2a，3

423．在ABC中，若2abc，sinAsinBsinC，则ABC的形状是____等边___则cosB_____．三角形． 4．若ABC的内角A满足sin2A215，则sinAcosA=

．

334．

55．在ABC中，已知AC2，BC3，cosA（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）求sin2B的值．

64

342解：（Ⅰ）在ABC中，sinA1cos2A155，由正弦定理，

BCsinAACsinB．所以sinBACBCsinA233525．

（Ⅱ）因为cosA45，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是

2cosB1sin2B125215，

cos2B2cos2B12(215)211725，

sin2B2sinBcosB22214215525．

sin2B6sin2Bcos4216cos2Bsin625321725121271750．

6．在ABC中，已知内角A，边BC23．设内角Bx，周长为y．

（1）求函数yf(x)的解析式和定义域；（2）求y的最大值．

解：（1）ABC的内角和ABC，由A，B0，C0得0B2．

应用正弦定理，知ACBC2sinAsinB3sinsinx4sinx，



ABBCsinAsinC4sin2x．

因为yABBCAC，

所以y4sinx4sin2x2320x3，

（2）因为y4sinxcosx1sinx223



43sinx523x，

所以，当x，即x时，y取得最大值63．

5

7．在ABC中，tanA14，tanB35．

（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

13解：（Ⅰ）Cπ(AB)，tanCtan(AB)451．

11345又0Cπ，C34π．

（Ⅱ）C34，AB边最大，即AB17．

又tanAtanB，A，B0，，角A最小，BC边为最小边．

由tanAsinAcosA14，且A0πsin2Acos2A1，，2，

得sinA1717．由ABBCsinAsinCsinA得：BCABsinC2．

所以，最小边BC2．

6