3.1.3 空间向量的数量积运算名师教学设计2

3.1.3空间向量的数量积运算

教学目标：

掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.培养学生观察、分析、类比转化的能力，探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题的能力。通过空间向量在几何中的应用，提高学生的空间想象力。培养学生探索和创新意识，让学生感受数学，体会数学的魅力。

教学重点：

两个向量的数量积的计算方法及其应用．

教学难点：

向量运算在几何证明与计算中的应用；如何将立体几何等价转化为向量问题。

教学过程：

一、复习引入

1.复***面向量数量积定义及其相关概念。

2. 平面向量的数量积的性质和运算律。. 2. 平面中，两个平面向量有数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积. 二、新课讲授

1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞．

当＜a、b＞＝０时，a与b同向；

当＜a、b＞＝π时，a与b反向；

当＜a、b＞＝2时，称a与b垂直，记a⊥b．

⑵

两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶

注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

②＜a,b＞(a,b) 2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即

a·b＝|a||b|cos＜a,b＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；

⑵符号“·

”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影B′，则A'B'叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影．可以证明：A'B'＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.

特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2.

⑷cos＜a,b＞＝ab;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. ab4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)；

⑵

a·b＝b·a (交换律)；

⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律) 思考：

1、

对于三个均不为0的数a、b、c,若ab=ac，则b=c.对于三个向量a,b,c,由a · b=a · c ，能得到b=c吗？请举反例。（不成立）

2、

对于三个均不为0的数a、b、c,若ab=c，则a=c/b(或b=c/a).对于三个向量a,b,由a · b=k

，能得到a=k/b(或b=k/c)吗？也就是说，向量有除法吗？（不成立）

3、

3、对于三个均不为0的数a、b、c,有(ab)c=a(bc).对于三个向量a,b,c,有(a · b)c=a(b · c)成立吗?

向量的数量积满足结合律吗? （不

成立）

说明：⑴(a·b)c≠a（b·с）；⑵有如下常用性质：a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b＋b2

概念运用练习：

(1)

已知（2）判断真假

,则的夹角为

3.如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F

分别是AB、AD的中点。（1）EFBA(2)EFBD(3)EFDC(4)EFAC

计算：5. 教学例题：

课本P98例2、例3（略

详见教材）

例4：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB

6、巩固练习：

C1.已知线段AB 、BD在平面内，如果

，线段，，bbaD，求C、D之间的距离. AD'B2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a ，点M、N分别是边AB、CD的中点。求证：

。

BMADNC

（备选）3.已知空间四边形

，求证：

。

OABC，OB=OC，

OAC（备选）4.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1

，CD1

和DC1相交于O点

，连结AO，求证：1B

。

课堂小结：略

作业：教材P92 1教材P98 3，2，3，

、4、5

A'D'B'C'OADBC