6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质教学目标设计

余弦定理教学设计

伍迎春 一、教学目标：

（1）由已有的知识直角三角形、正弦定理进一步研究三角形中其他的边角关系。

（2）学生合作探究通过直角三角形等已有知识，经历余弦定理的证明过程。 （3）注重公式结构及变形，掌握公式的内在联系

（4）公式的顺用与逆用

二、教学重点：余弦定理的发现及证明过程

教学难点：余弦定理的发现及证明

三、信息化设备：电子白板，录播室，几何画板

四、教学过程

知识回顾; ：

abc2R

(1)在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：sinAsinBsinC(2) 运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？

abbc,由，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。”“已sinAsinBsinBsinC知两边及其一边的对角可以求其他角。”等解三角形问题

余弦定理的教学过程：

1）创设情境，激发学生兴趣

我们已经解决了两边及一边对角，以及两角一边解三角形----------正弦定理。

问题1：思考：如图，在ABC中，已知ABC中BCa,ACb,BCAC，求c即AB。我们发现用正弦定理已无法解决这个问题，这就需要我们继续研究三角形中其他的边角关系。

C

ab

b

B bA c

问题2：我们研究问题的途径是什么？（由特殊到一般）

问题3：怎样把一般三角形化为特殊三角形呢？（分割、辅助线化为直角三角形）

问题:4、怎样表示出三角形的边c呢？

让学生遇到问题，激发兴趣，尝试解决

2）余弦定理的得出及推导：

先让学生尝试具体问题：①已知三角形ABC中，a=5，b=1，C=60，求第三

边c 进而，改为字母：②已知三角形ABC中，BC=a，AC=b，∠ACB=C，试用a，b及C表示第三边c 设想：学生可能把图形加以分割转化为已有知识直角三角形进行解决。

小组合作探讨： 证明：学生可能想法有

方法（1）化归为直角三角形，作BD⊥AC于D，

ABDC

教师引导：问题5：怎样把未知量用已知量表示出来呢？（直角三角形边角关系）化归思想

AB2BD2AD2BD2(ACCD)2(asinC)2(bacosC)2ab2abcosC方法（2）

22

教师引导：在证明正弦定理时BCBAAC两边同时乘以AD推出正弦定理

那么三角形中还有其他方法将向量数量化吗？（平方）

向量法

ABACCB

AB(ACCB)2ACCB2ACCBACCB2ACCBcos(C)c2a2b22abcosC

22222

方法（3）

教师引导：向量是二维空间的数，能否转化到二维空间推导呢？（建系）

请学生尝试坐标法

以C为原点，CB为x轴建立直角坐标系，则A（bcosC，bsinC）,,B（a，0）,

AB(bcosCa)2(bsinC)2b2a22abcosC

2同理可得，a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB

教师可以借助用几何画板形象直观的反映出数量关系。

运动

点mÐACB = 111.62°AB = 5.83 厘米AC = 4.00 厘米BC = 3.02 厘米cos(mÐACB) = -0.378AB2 = 33.94 厘米2AC2+BC2-2×AC×BC×cos(mÐACB) = 33.94 厘米246B2-10-5C-2A5-4

(几何画板供参考) 利用几何画板制作动画，帮助学生认知：c2a2b22abcosC

b2c2a2a2c2b2a2b2c2公式变形：cosA，cosB，cosC

2bc2ac2ab问题6我们怎样记忆公式：结构的对称性，角和边的对应，我们观察一个等式是从整体到局部，由特殊到一般的过程，余弦定理就是勾股定理的推广。

（1）余弦定理与正弦定理一样，也是任何三角形边角之间存在的共同规律,余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.

（2）等式a2b2c22bccosA含有四个量a、b、c、A，从方程的角度看，已知其中三个量，总可以求出第四个量。

问题7：我们为什么要学余弦定理，他有什么用呢？

利用余弦定理及推论可以解决以下两类三角形的问题：

①已知三边求三角形的三个角；

②已知两边及其夹角求三角形的其他边与角。

这两种类型问题在有解时都只有一个解，把“边、边、边”和“边、角、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式。

（4）从余弦定理和余弦函数的性质可知：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；

余弦定理是勾股定理的推广，利用余弦定理可以解决以下两类问题：已知三边求三角；已知两边和夹角求第三边和其他各角

五、问题解决：

问题1：ABC中，a7,b5,c3，解这个三角形。

解：∵abc，

∴这个三角形的最大角是A。

b2c2a25232721cosA.

2bc25322。

3引申：已知三角形三边长为a、b、c，怎样判断ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？

所以这个三角形的最大角是A反馈练习：1、ABC中，a23,c62,B4，求b及A。（学生板演、教师评讲，强调规范化解题）

六、归纳小结 反思拓展

（一）归纳小结

1、余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。能否用余弦定理证明勾股定理呢？

2、余弦定理有两个基本应用：一是已知三边求三角,二是已知两边及他们的夹角求第三边。

3、余弦定理和正弦定理是同一三角形的约束条件的不同表现形式，在本质上应该是一致的。

4、要让学生体会余弦定理的发现过程，尤其是怎么想到这个方法的。

（二）反思拓展、课后探讨

1、余弦定理和正弦定理反映了同一三角形边、角之间的的度量关系,本质上是一致的.你能证明这两个定理时等价的吗?

2、总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？

作业; 1、P51 练习第1、2题；

2、课后探讨内容