4.7 简单的指数方程名师教学设计1

资源信息表

标

题:

关键词:

4．6 对数函数的图像与性质（2）

复合函数、单调性、奇偶性、最值

教学目标

1、会求含对数的简单复合函数的单调性及单调区间．

2、能正确判断含对数的简单复合函数的奇偶性．

3、会求含对数的简单复合函数的最值．

4、会求解含对数的简单的不等式．

5、能正确利用分析、类比、归纳等方法来探索问题，形成应用整体代换、数形结合、分类讨论、化归等数学思想解决问描

述:

题的能力，提高综合思维能力和思辩能力．

6、通过探究性学习、体验性学习等教学双边活动，学会构建知识，提炼方法．并能归纳总结，激发内在的潜能，培养和锻炼自身的创新意识和创造能力．

教学重点与难点

会求含对数的简单复合函数的单调性及单调区间、奇偶性、最值；会求解含对数的简单的不等式．

高一年级<数学第二学

科:

语

种:

册>4.6

媒体格式:

教学设计.doc

，

ppt

学习者:

文本类素材、

资源类型:

教育类型:

课件类素材

作

者:

魏永红

单

位:

地

址:

宝山区泰和路99号(200940)

Email:

chwyhong@sina.com

1 汉语

学生

高中教育>十年级

上海市吴淞中学

4．6 对数函数的图像与性质（2）

上海市吴淞中学 魏永红

一、教学内容分析

本节课是继学生学习了对数函数的图像与性质并结合第三章《函数的基本性质》等知识，对对数函数的单调性、奇偶性、最值等作进一步的学习和研究，是幂函数、指数函数等基本初等函数研究的继续；它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础．在本节课的学习中，涉及到整体代换、数形结合、分类讨论等数学思想，对培养学生的综合思维能力，提高学生的思辩能力有很大的帮助．

二、教学目标设计

1、会求含对数的简单复合函数的单调性及单调区间．

2、能正确判断含对数的简单复合函数的奇偶性．

3、会求含对数的简单复合函数的最值．

4、会求解含对数的简单的不等式．

5、学会分析、类比归纳等方法来探索问题，形成应用整体代换、数形结合、分类讨论、化归法等数学思想解决问题的能力，提高综合思维能力和思辩能力．

6、通过探究性学习、体验性学习等教学双边活动，学会构建知识，提炼方法．并能归纳总结，激发内在的潜能，培养和锻炼自身的创新意识和创造能力．

三、教学重点及难点

会求含对数的简单复合函数的单调性及单调区间、奇偶性、最值；会求解含对数的简单的不等式．

2

四、教学流程设计

应用举例(求含对数的简单复合函数的

对数函数

的图像

与性质

复合函数的定义、外函数、

内函数等概念

函数的单调性及单调区间、奇偶性、

最值等定义

单调性及单调区间、奇偶性、最值等) 巩固、反馈、总结、反思、作业

五、教学过程设计

一、情景引入

1．观察

请问：函数ylgx是什么函数？

2．思考

该函数既不是幂函数，也不是对数函数；既不是两个函数的和函数，也不是两个函数的积函数．

3．讨论

该函数可看作是在幂函数yt的自变量t的位置上，代入一个关于x的函数tlgx而得到的．

12二、学习新课

3

1．概念、性质辨析

(1)复合函数的概念

一般地，如果对于在某一范围D内的自变量x的每一个值，通过函数tg(x)，有唯一确定的t与之对应，而对所得的t，通过函数yf(t)，又有唯一确定的y与之对应，那么对在某一范围D内的每一个x，就有唯一确定的y与之对应，于是y是x的函数．这样的函xD．其中数称为yf(t)与tg(x)的复合函数，记作yf(g(x))，yf(t)称为复合函数的外函数，tg(x)称为复合函数的内函数，Dtlgx

为复合函数的定义域．例如，在ylgx中，yt为外函数，为内函数，x1为复合函数的定义域．

(2)复合函数的定义域：

复合函数的定义域D是使内函数有意义，且相应的内函数的值落在外函数的定义域内的x的全体．如，求ylgx的定义域D，只要)．

令lgx0，解得x1，于是D=[1，[说明]1．复合函数的概念是否介绍，要根据所授课班级学生的实际接受能力而定．

2．要指出不是任意的两个函数都可以复合．

2．例题分析

例1：讨论函数yloga(x22x3)的单调性．

分析：由x22x30，得x3或x1．当x3时，函数f(x)x22x3单调递增；

当x1时，函数f(x)x22x3单调递减．

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所以，若a1，则当x3时，函数yloga(x22x3)单调递增；当x1时，函数yloga(x2x3)单调递减．2

若0a1，则当x3时，函数yloga(x22x3)单调递减；当x1时，函数yloga(x2x3)单调递增．[说明] 1、本例要对a作分类讨论．

2、讨论复合函数单调性的步骤是：

（1）求出复合函数的定义域；

（2）把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并分别判定其单调性和单调区间；

（3）根据复合函数的单调性规律判定其单调性和单调区间．复合函数y=f[g(x)]的单调规律是“同则增，异则减”，即f(t)与g(x)若有相同的单调性则y=f[g(x)]必为增函数，若具有不同的单调性则y=f[g(x)]必为减函数． 例2：判断下列函数的奇偶性：2x(1)f(x)loga(a0，a1)2x

(2)f(x)ln(x2)ln(x2)x1x2(3)f(x)log22x22

2x0,得2x2，且对任意x(2，2)，有2x2x2x2x2xf(x)f(x)logalogalogaloga10，

2x2x2x2x2x函数f(x)loga(a0，a1)是奇函数．2xx20(2)由x2．函数的定义域关于原点不对称，

x20该函数不具有奇偶性．分析：(1)由

5

(3)由1x20，得1x1．又2x22x2x0，得函数的定义域是(1，0)(0，1)，

x1x22f(x)log2log21x(x(1，0)(0，1))，x故该函数为偶函数．[说明]函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

例3：若x[2，4]，求函数f(x)(log1x)2log1x25的最大值．

441分析：令tlog1x，x[2，4]，t[1，]，241而yt22t5(t1)24在[1，]上是单调递减的，

2所以，当t1即x4时，得fmax(x)8．[说明]本题利用了“换元法”，将问题化归为一元二次函数，利用对数函数和一元二次函数的单调性，求得最值．

例4：设f(x)2(log2x)22alog211b，已知x时f(x)有最小值8，x2

(1)求a、b的值；(2)在(1)的条件下，求f(x)0的解集．分析：(1)令tlog2x(x0)，tR，y2t22atb，a42b4a2当t时，得ymin2421alog2a222由已知：242b4a8b642

(2)由f(x)0得：2t24t60t1或t3，1由log2x1或log2x3得x2或0x，

81即原不等式的解集为(0，)(2，)．8

6

[说明]对形如logaxplogaxq0的不等式，利用“换元法”，设2tlogax，将问题化归为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法求出t，即loga

3．问题拓展

x，再利用对数函数的单调性，求得x的解集．

1例：当x(0，)时，不等式3x2logax0恒成立，求实数a的取值范围．

3解：原不等式等价于：3x2logax，在同一个平面直角坐标系内，1分别作函数y13x2，y2logax，x(0，)的图像，3111当x(0，)时，y13x2，且y1y2在x(0，)时恒成立，33311只能0a1，且必须y2loga成立，331111即a3a1,则a的取值范围是[，1)．32727

[说明]1、对形如logf(x)ab等对数式底数中含有未知数的不等式，f(x)1可利用对数定义或换底公式等，化原不等式为b或a[f(x)]0f(x)1b来求解．

0a[f(x)]2、在求解含不同类型函数的方程或不等式时，常将不同类型的函数置于等号或不等号的异侧，再利用它们函数图像的关系，形象直观地得出结论．

3、构造适当的图形来解题，有助于提高解题能力与速度，突出了“数形结合”思想的简捷、直观和形象鲜明．注意对参数的“分类讨论”．

三、巩固练习

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1．已知函数f(x)loga|x1|在区间(1，0)上有f(x)0，则f(x)在区间(，1)上的单调性如何？loga|x1|0loga(x1)0f(x)0分析：0)0)x(1，x(1，0x11f(x)loga|x1|(0a1)0a11)x(，

f(x)loga(x1)(0a1)故，由复合函数的单调性1)x(，便知f(x)在区间(，1)上单调递增．

2．若函数ylog1(x2kxk)在区间(，13)上是增函数，求实数2k的取值范围．分析：令tg(x)x2kxk，则ylog1t关于t(0，)递减，2因为y关于x(，13)递增，所以t关于x(，13)递减且t恒大于0，由二次函数的图象可知k132g(13)0223k2．

13．定义在R上的偶函数f(x)在(0，)上是增函数，且f()0，3求满足f(log1x)0的x的取值范围．8分析：yf(x)(xR)为偶函数，其图像关于y轴对称，1有f(x)在(，0)上是减函数，且f()0，311利用f(x)的“图像”可得：log1x或log1x33

880x1或x2．即满足f(log1x)0的x的取值范围281是x(0，)(2，)．2

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四、课堂小结

本节课继续学习了对数函数的性质，在理解复合函数概念的基础上，研究含对数的简单复合函数的单调性、奇偶性、最值等性质是本节课的重点和难点．

在研究复合函数的性质时，即要结合函数的单调性、奇偶性、最值的定义，又要善于利用“整体代换”等方法，将问题转化为基本函数来研究，同时要注意数形结合，分类讨论等数学思想的灵活运用．

五、作业布置

数学《练习部分》高一第二学期P6习题4．6 B组

六、教学设计说明

本节课主要是利用“对数函数的图像与性质”，结合第三章《函数的基本性质》等知识，对含对数的简单复合函数的单调性、奇偶性、最值等作进一步的学习和探究．

本节课是从引入“复合函数”的概念开始的．“复合函数”的概念是否介绍，要根据所授课班级学生的实际接受能力而定，对于普通班级只需简单介绍“外函数”、“内函数”的概念即可．本知识的介绍对后续的数学学习是很有帮助的．

围绕本节课的教学重点和难点，教师在教授本节课时，要选择适合于学生的教学双边活动，要采取探究性教学、体验性教学，和学生共同整理知识，提炼方法．

在本节课中，化归思想占有重要地位．如对形如2loagxploagxq0的不等式，利用“换元法”，设tlogax，将

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问题化归为一元二次不等式来求解．在例题的分析中，注意渗透“数形结合”、“分类讨论”等数学思想．

教学中教师要启发学生归纳总结，提升解题能力．同时要根据学生的基础对例题作适当的取舍，要注意学生发展的差异性：每个学生基础各不相同，能力趋向也各不相同，潜能的发挥更是有很大的发展空间，因此要关注每个学生在自己基础上的提高，各种能力的不断培养和潜能的不断激发，使学生人人求提高；促使学生发展的持续性，教师要关注学生发展的科学性、基础性和潜在性，精心呵护和培养学生发展的每一种可能，并为可能的发展提供良好的环境，使学生人人求发展．

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