复习参考题公开课参赛课教案

微课：利用“同等异补”轻松判断二面角的大小

遂溪县第一中学 关伟坚 【教学目的】

掌握利用空间向量来判断二面角的大小。

【教学重点】

如何利用两个平面法向量的夹角来判断二面角的大小。

【教学难点】

两个平面法向量的夹角与二面角的关系。

【教学过程】

1、引入

我们常用空间向量去求二面角的大小，但往往需要判断它是锐角还是钝角。如果仅靠观察，有时难以判断。本文介绍一种判定的方法，这种方法简便且操作，容易掌握。

2、新课讲解

判定方法：如图1图示，记平面和的法向量分别为m和n，二面角l的大小为AOB，记为，则cosm,n

n



A



m

B



l

O图1 mn，且与m,n的关系是相等或互补。

|m||n| 取向量AB为参照向量（取法是参照向量的起点、终点分别在二面角的两个半平面内）。

mAB0mAB0 （1）若或，则法向量m和n的方向如图2、3所示，易知nAB0nAB0m,n。也就是说，参照向量与两个法向量的数量积为同号，则二面角的大小等于两法向量夹角的大小，简称为：同号相等。

n

n

m



A





A

m



l

O

图2 B



l

O图3 B



mAB0mAB0（2）若或，则法向量m和n的方向如图4、5所示，易知nAB0nAB0m,n。也就是说，参照向量与两个法向量的数量积为异号，则二面角的大小等于两法向量夹角的补角的大小，简称为：异号互补。

n

n

m

B



A







A



m

B



l

Ol

O

图4 图5 注意：“同号相等，异号互补”说的是二面角与两法向量夹角之间的关系，并不是判断二面角的大小是锐角还是钝角。

3、例题讲解

【例】如图，矩形ABEF所在的平面与等边ABC所在的平面垂直，AB2AF2，O为AB的中点．求二面角FCEB的余弦值. F

z

D

E

DAB

【解析】取EF的中点D,连接OD，则O∵平面ABEF平面ABC，

平面ABEF平面ABCAB，

∴OD平面ABEF. ∵ACBC，O是AB的中点，∴OCAB. C

x

A O

B

y

如图所示，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz.因为ABAC，所以，OC3，于是有F0,1,1,E0,1,1,B0,1,0,C3,0,0，

从而CE3,1,1，EF(0,2,0)，

设平面FCE的法向量n(x,y,z)，

3xyz0nCE0由

得取x1，y0,z3，

2y0nEF0∴平面FCE的一个法向量为n1,0,3，

同理，可求得平面BCE的一个法向量m1,3,0， 则cosm,nmnmn1103301，

224下面判断二面角的平面角是锐角还是钝角：

nFB10023(1)130取参照向量FB(0,2,1)，则

mFB10320(1)230根据“同号相等，异号互补”可知，二面角FCEB的平面角与m,n互补，

∵cosm,n10，∴m,n为锐角，

4∴二面角FCEB为钝二面角，

∴二面角FCEB的余弦值为4、小结

这种判断二面角的大小的方法比较简单，只需要增加一个参照向量，而两个半平面的法向量已知，简单的运算即可判断。这种方法的判断过程不必写在解答过程中，只需要说明二面角是锐二面角或钝二面角即可。

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