3.2.2 直线的两点式方程公开课教案

3.2直线的方程

一、教学目标：

知识与技能：

1、熟系点斜式、斜截式及一般式的结构，并能运用其求解直线方程；

2、能进行三种结构的直线方程的互化；

3、能运用直线方程解决具体应用问题，主要是平行、垂直及截距问题。

过程与方法：

1、在运用斜截式判断平行、垂直问题的过程中，学会分类讨论方法；

2、在解决截距有关问题的过程中，学会数形结合的方法。

情感态度与价值观：

在直线方程应用的过程中，培养探索精神，发散思维以及严谨的数学逻辑。

二、教学重点：

直线方程及其应用

三、教学难点：

直线方程在平行、垂直及截距问题中的应用

四、教学方法（及课型）：

以学生自主练习为主，教师讲评、引导为辅（习题课）。

五、课时安排：

1课时

六、教学过程：

复习回顾：

问题1：直线点斜式、斜截式及一般式的结构分别如何？

板书：点斜式：yy0k(xx0)；斜截式：ykxb；一般式AxByC0。

问题2：已知直线上两点，如何用点斜式求出直线方程？

归纳：利用两点坐标求出直线斜率，即可以用点斜式求直线方程。

问题3：若直线斜率存在，用斜截式如何判断两直线平行、垂直？

板书：l1//l2k1k2且b1b2；

l1l2k1k21。

问题4：若不考虑直线斜率是否存在，用一般式如何判断两直线平行、垂直？

板书：l1:A1xB1yC10

l2:A2xB2yC20

A1B2A2B10l1//l2；

BCBC02112

l1l2A1A2B1B20。

探究一：平行、垂直问题

例1：若直线l1: 2x+my+1=0与l2: y=3x-1平行，求m。若直线l1与l2垂直呢? 师生活动：学生练习，2人板演示范，教师点评。

学情预设：my2x1

y2x1

ml1//l222

3,解得mm3l1l2

231,解得m6m问题1：存在的错误在哪里？

教师：在y2x1中，当m0时，斜率才存在。但还需要讨论m0时，l1//l2，l1l2m是否也成立。

归纳：m0时，l1: 2x +1=0，此时l1//l2，l1l2都不成立。

总结：这种方法统一化直线方程为斜截式来判断平行、垂直。需要注意讨论斜率不存在的情况。

问题2：有什么方法可以避免对斜率的讨论？

归纳：统一化直线方程为一般式来判断平行、垂直。

板书：l1: 2x+my+1=0

l2: 3x-y-1=0 l1//l22(1)3m02

,解得m3m(1)1(1)0l1l223m(1)0,解得m6

总结：平行、垂直问题可以在直线方程同为斜截式或同为一般式情况下解决。

变式：已知点P(4,2)，直线l:3x2y70，求：

（1）过点P且与l平行的直线的方程；

（2）过点P且与l垂直的直线的方程。

师生活动：学生练习，2人板演示范，教师点评。

学生1：y3737x

学生2：yx

2222l1//l2kl1l22

3

k3232(x4)

y2(x4)

23y2即3x2y160

即2x3y20

问题3：这种方法是用点斜式求直线方程，能用斜截式、一般式求直线方程吗？

教师：以题（1）为例，

斜截式：设直线方程为y3xb，代入（-4,2）可求b；

2一般式：设直线方程为3x2yC0，同理可求b。

探究二：截距问题

例2：求直线2x5y100与坐标轴围成的三角形的面积。

师生活动：教师分析，师生共同完成。

分析：由题意

可知直线与坐标轴相交，如图所示: 问题4：所求三角形面积为SOAB，需要球哪些量？

学生：A点，B点的坐标。

追问：如何求A点，B点的坐标？

学生：令x0，得A点坐标；令y0，得B点坐标。

板书：A(0,2)，B(5,0)，SOAB1|OA||OB|5。

2总结：-2，5为直线在坐标轴上的截距，所求三角形面积与截距绝对值有关。

例3：设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)。

（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

师生活动：学生练习，1人板演示范，教师点评。

分析：抓住截距相等求a，代入可得直线方程。

学生：令x0，ya2

令y0，x

a1a2

a1a2(a1)

a1

解得a0

或a2

直线方程为xy20

或3xy0

（2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围。

师生活动：教师分析，师生共同完成。

问题5：直线l绘制：

不经过第二象限，图像有几种可能？

问题6：这几种情况的直线有什么特点？

归纳：k0且b0；或k,b不存在。

分析：y(a1)xa2，此时k(a1)，斜率存在。

板书：(a1)0

a20

解得a1

例4：已知直线l与2x5y10平行，且与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程。

师生活动：教师分析，学生练习，1人板演示范，教师点评。

问题7：“直线l与2x5y10平行”，则直线l的方程有什么特点？

归纳：斜率相同，都等于追问：如何求b的值？

归纳：利用三角形面积为5，可得到含有b的等式，即可求出b的值。

板书：设直线l的方程为y令x0，yb

令y0，x22，所以直线l的方程可以设为yxb。

552xb

55b

2S15b|b|||5

22解得b2

22yx2或yx2

55问题8：“直线l与2x5y10平行”，直线l的方程还有其他设法吗？

板书：设直线l的方程为2x5yC0。

变式1：求斜率为3，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程。

43xb。

4师生活动：学生练习并校对。

分析：设直线方程为y变式2：求过点P(1,2)，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程。

师生活动：学生练习并校对。

分析：设直线方程为y2k(x1)。

七、板书设计：

直线的方程

1、点斜式2、斜截式3、一般式

例1

例1变式：

例4

yy0k(xx0)

ykxb

AxByC0

m0

l1//l2，l1l2？

4、平行关系

l1//l2k1k2且b1b2

A1B2A2B10l1//l2

B1C2B2C105、垂直关系

例2

例3 l1l2k1k21

l1l2A1A2B1B20

八、教学反思：

这节课的优点在于发挥了学生的主动性，以学生自主练习为主，教师主要针对学生存在的问题进行改正或引导。例如，例1和例3中学生会忽略斜率不存在的情况。同时讲评题目时，比较注重一题多解，例1中呈现两种不同解法，既有利于开阔思维，又有利于方法之间的比较。例2中三种直线方程的设法，也是帮助学生熟悉不同结构方程的过程。本节课的不足之处在于个别题目难度偏大，不利于调动一些学生的做题积极性，也造成了后面例题的做题时间不足，可适当删除例题。同时，平行直线，垂直直线的一般式设法没有对应例题巩固，学生印象不深刻，可调整变式1已知条件为“直线l与3x4y10平行”。