3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课教案推荐

直线的倾斜角与斜率教学设计

贵州省独山高级中学 何宇莲

一、教学目标

（一）知识与技能

1．理解直线的倾斜角与斜率的概念。

2．掌握倾斜角与斜率的对应关系。

3．掌握过两点的直线的斜率公式。

（二）过程与方法

通过对确定直线位置的几何要素的探究引入直线倾斜角的概念；通过日常生活中“坡度”概念的迁移获得直线斜率的概念；通过对正切诱导公式和函数图象的回忆得到倾斜角与斜率的对应关系；通过对两点确定直线的再思考引出过两点的直线的斜率公式。

（三）情感态度与价值观

通过倾斜角与斜率的对应关系的探讨，强化学生分类讨论问题的思想和意识；通过斜率概念的建立和过两点的直线斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，带领学生初步尝试用代数方法解决几何问题。

二、学情分析

在初中，学生们已经学过一次函数y=kx+b(k≠0)，这个函数解析式里面的k其实就是我们这里要讲的斜率，此外，学生们也学***面几何中的直线，这些预备知识为本节课提供了一定的认知基础。在函数部分学习中，我们已经渗透过数形结合的思想，但学生对数形结合的认识仅停留在借助图形图象解决代数问题的层面。因此，用代数方法研究几何问题的思想和方法学生们接触的很少，有些难想到，在探究过两点的直线斜率公式时，应多做引导和启发。

三、重点难点

教学重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式。

教学难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系，过两点的直线的斜率公式的推导。

四、教学过程

活动1【导入】一、课题引入

引导性语言：我们对直线的已有研究有哪些？两点可以确定一条直线，过一点有无数条直线。那么这节课我们继续来研究直线，这节课我们主要研究直线的倾斜角与斜率。

【设计意图】使学生明确本节课学习的内容。

活动2【活动】二、新知探究

活动一：直线的倾斜角

问题1：对直线的已有研究有哪些？

•

1）R上的一次函数可以表示直线

•

2）确定一条直线需要的条件

（两点；一点及其方向）

【设计意图】引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。

师生活动：引导学生发现三条直线均过点P，但倾斜程度不一样，进而回顾旧知：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

问题2：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜程度。可以用什么样的几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度？

【设计意图】探索描述直线倾斜程度的几何要素，由此引出直线倾斜角的概念。

师生活动：引导学生把重点放在“如何描述直线倾斜程度”的问题上，启发学生发现可以用直线与x轴夹角来描述直线的倾斜程度，促成概念的形成。师生共同给出倾斜角的概念：

直线的倾斜角的概念

1、定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。

问题3：按照倾斜角的定义，倾斜角的取值范围是什么？

【设计意图】让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。

师生活动：学生思考作答，教师可借助图形直观演示，让学生明确倾斜角的取值范围。

2、范围

规定：当直线与x轴平行或重合时，α=0°。

于是，直线倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°。

练习

判断正误

问题：下列图中标出的直线的倾斜角对不

对？如果不对，违背了定义中的哪一条？（见课件）

结论：注意：

(1)直线向上方向；

(2)X轴的正方向。

【设计意图】使学生理解直线的倾斜角的找法。

活动3【活动】三、新知探究

活动二：直线的斜率

引导性语言：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么，如何用代数语言描述上述几何要素呢？先思考下面一个问题。

【设计意图】告知目标，明确思维方向，将几何要素代数化。

问题4：思考: 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

如图，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即

坡度升高量前进量【设计意图】基于学生客观认知水平，结合已有生活经验寻找几何要素代数化的方法。引导学生发现，坡的陡缓程度与前进量和升高量有关，帮助学生再现“坡度”概念。

师生活动：通过类比，引导学生把“坡度”这个刻画倾斜程度的量与直线倾斜角联系起来，从而引入“斜率”这一概念。

直线的斜率的概念

1、定义

把一条直线倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即

k=tanα(α≠90°)。

结论：倾斜角为90°的直线斜率不存在。

【设计意图】使学生学会倾斜角与斜率的互换，明确“倾斜角为90°的直线斜率不存在”，学会求倾斜角是钝角时的直线斜率。

问题5：请同学们借助正切函数的图象，思考倾斜角α与斜率k有何关系？

【设计意图】沟通数形关系，加深概念理解，让学生明确倾斜角与斜率的关系，体会倾斜角与斜率的内在联系。

师生活动：如图，引导学生回忆正切函数的图象，结合正切函数在0°≤α＜180°

上的图象总结出斜率与倾斜角之间的关系。

2、倾斜角α与斜率k的关系

当α=0°时,k=0；

当0°＜α＜90°时,k＞0，倾斜角越大,斜率也越大；

当90°＜α＜180°时,k＜0，倾斜角越大,斜率也越大；

当α=90°时,k不存在，即倾斜角是90°的直线没有斜率。

结论：倾斜角是直线倾斜程度的几何表示，斜率是直线倾斜程度的代数表示。

例1：（见课件）

例2：（见课件）

练习3（1）如果直线

l1的斜率为0，

l1l2，那

的斜率怎样？

么直线

l2（2）如果直线

l的斜率

k的范围是

0k1

那么它的倾斜角的范围是什么？

(3)直线的倾斜角越大，它的斜率就越大?

结论：由一个定点和倾斜角可以确定一条直线知，一个定点和斜率可以确定一条直线。

【设计意图】帮助学生理解斜率概念，以及斜率与倾斜角的关系。

活动4【活动】三、新知探究

活动三：过两点的直线的斜率公式

问题7：两点确定一条直线，直线确定，则倾斜角确定，倾斜角确定，则斜率确定。那么，你能用直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的坐标来表示该直线的斜率k吗？

【设计意图】让学生自己探索发现直线的斜率可以用直线上两点坐标来表示，只要找到倾斜角的正切与坐标的关系。

师生活动：不妨设P2在P1上方，引导学生分情况讨论，进行探究，教师给出直线上两点的坐标，请两位同学上黑板上演，其余同学在下面完成；学生根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式，师生共同评价。

问题8：(1)当P1、P2的位置对调时，k值又如何呢？

(2)当直线与x轴平行或重合时，上述结论还成立吗？

(3)当直线与y轴平行或重合时，上述结论还成立吗？

【设计意图】通过进一步思考和讨论，完善两点斜率公式。

师生活动：引导学生思考、讨论，检验得到：斜率公式与P1、P2两点的顺序无关；当直线与x轴平行或重合时，斜率公式仍然适用；而直线与y轴平行或重合时斜率公式不适用。总结两点斜率计算公式。

直线过P1(x1,y1), P2(x2,y2)两点,则

ky2y1x2x1ky2y1y1y2x2x1x1x2使用时需注意：

(1)当直线与x轴平行或重合时，k=0；

(2)当直线与y轴平行或重合时，k不存在；

(3)直线斜率k可以直接由直线上两点的坐标求得；

(4)直线的斜率与两点的位置无关，使用时需注意对应。

活动5【练习】四、新知巩固

例3 已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？

【设计意图】熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。

巩固练习：（见课件）

【设计意图】根据斜率定义式，结合图象，熟悉倾斜角与斜率之间的关系。

活动6【活动】五、课堂小结

1.在本节课中，你学到了哪些新的概念？它们之间有什么关系？

2.如何求出已知两点的直线的斜率？

3.从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中体现了什么样的数学思想？

【设计意图】概括本节课所学，在反思和总结中升华新概念的理解。

师生活动：请学生进行总结，教师适当补充，和学生一起归纳刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（数）和斜率（形），利用确定直线的两种方法，归纳出斜率求解的两个计算公式。在倾斜角和直线的相互转化中让学生体会数形结合的数学思想，初步体会“坐标法”解决解析几何问题的基本方法。

活动7【作业】六、课后作业

【设计意图】通过练习巩固本节课所学知识，检测运用本节课所学知识解决问题的能力。