1.4.1 全称量词教学设计(第二课时)

1.4

全称量词与存在量词

忠信中学

数学科组

杨勇灶

预习课本P21～25，思考并完成以下问题

1．全称量词、全称命题的定义是什么？

2．存在量词、特称命题的定义是什么？

3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？

[新知初探]

1．全称量词与全称命题

全称量词

符号

全称命题

形式

2．存在量词与特称命题

存在量词

符号表示

特称命题

形式

存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

__∃__ 含有存在量词的命题

“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”

所有的、任意一个、一切、每一个、任给

__∀__ 含有全称量词的命题

“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”

3．全称命题与特称命题的否定

知识点

全称命题的否定

特称命题的否定

[点睛]

(1)全称命题的否定

全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．

(2)特称命题的否定

特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略(

) (2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题(

) (3)“三角形内角和是180°”是全称命题(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)√

2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(

) A．∀x∈R，|x|＋x2<0

C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 答案：C 3．下列全称命题为真命题的是(

) A．所有的质数是奇数

B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数x，x2也是无理数

D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案：B 4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________. 答案：特称命题

假

∀x∈R，x2＋2x＋5≥0

B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0 原命题

p：∀x∈M，p(x)

命题的否定

綈p：∃x0∈M，綈p(x0) p：∃x0∈M，p(x0)

綈p：∀x∈M，綈p(x)

全称命题与特称命题的判断

[典例]

判断下列语句是全称命题，还是特称命题．

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

(4)矩形的对角线不相等；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

[解]

(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．

(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路

[注意]

全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．

[活学活用]

用全称量词或存在量词表示下列语句：

(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；

11(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；

32(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立；

(4)方程3x－2y＝10有整数解．

解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．

11(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．

32(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．

(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立. 全称命题、特称命题的真假判断

[典例]

(1)下列命题中的假命题是(

) A．∃x0∈R，lg x0＝0

C．∀x∈R，x2>0 (2)下列命题中的真命题是(

) A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数

B．∃α0，β0∈R，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0

C．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为2 D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件

[解析]

(1)对于A，x＝1时，lg x＝0；

π对于B，x＝kπ＋(k∈Z)时，tan x＝1；

4对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题；

对于D，ex>0恒成立．

π(2)对于A，当φ＝时，f(x)＝cos 2x，为偶函数，故A为假命题；

2πππ22－＝，cos α0＋cos β0＝＋0＝对于B，令α0＝，β0＝－，则cos(α0＋β0)＝cos424222，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B为真命题；

2a·b－2＋0对于C，向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为＝＝－2，故C|b|1为假命题；

对于D，|x|≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，则|x|≤1不一定成立，所以“|x|≤1”为“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题．

[答案]

(1)C

(2)B

全称命题与特称命题的真假判断的技巧

(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．

(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．

[活学活用]

指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假．

B．∃x0∈R，tan x0＝1

D．∀x∈R，ex>0

(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0. (2)对任意实数x1，x2，若x1

(4)∃x0∈R，使x20＋1<0. 解：(1)是全称命题．

∵ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．

(2)是全称命题．

存在x1＝0，x2＝π，x1

∴命题(2)是假命题．

(3)是特称命题．

由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，

∴命题(3)是假命题．

(4)是特称命题．

对任意x∈R，x2＋1>0，∴命题(4)是假命题. 全称命题与特称命题的否定

[典例]

(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(

) A．∀n∈N，n2>2n

C．∀n∈N，n2≤2n

B．∃n∈N，n2≤2n

D．∃n∈N，n2＝2n

(2)(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(

) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

[解析]

(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C. (2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．

[答案]

(1)C

(2)D

全称命题与特称命题的否定的思路

(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，

同时否定结论．

(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再

依据规则来写出命题的否定．

[活学活用]

判断下列命题的真假，并写出它们的否定．

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口向下；

(3)存在一个四边形不是平行四边形．

解：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°. (2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．

(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形. 利用全称命题与特称命题求参数

[典例]

若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．

[解]

法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)，

令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，

所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，

而∀x∈[－1，＋∞)，

22－a，a≥－1，f(x)min＝

221＋a＋2－a，a<－1.

由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．

法二：x2－2ax＋2≥a，

即x2－2ax＋2－a≥0，

令f(x)＝x2－2ax＋2－a，

所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)，

Δ＝4a－42－a>0，f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0或a<－1，f－1≥0，即－2≤a≤1或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1. 综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．

利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型

2

(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．

(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．

[活学活用]

πx0＋

3ππ4π解析：由0≤x≤π，得≤x＋≤，

333所以－π3x＋≤1. ≤sin32πx0＋

而命题p：∃x0∈[0，π]，使sin3因为p为真命题，所以a>－答案：－3. 23，＋∞

222．已知命题p：∃x0∈R，使x20－mx0＋1＝0，命题q：∀x∈R，有x－2x＋m>0.若命题q∨(p∧q)为真，綈p为真，求实数m的取值范围．

解：由于綈p为真，所以p为假，则p∧q为假．

又q∨(p∧q)为真，故q为真，即p假、q真．

命题p为假，即关于x的方程x2－mx＋1＝0无实数解，则m2－4<0，解得－2

命题q为真，则4－4m<0，解得m>1. 故实数m的取值范围是(1,2)．

层级一

学业水平达标

1．已知命题p：∀x>0，总有ex>1，则綈p为(

) A．∃x0≤0，使得ex0≤1

C．∀x>0，总有ex≤1

B．∃x0>0，使得ex0≤1

D．∀x≤0，总有ex<1 解析：选B

因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定綈p为∃x0>0，使得ex0≤1.故选B.

2．下列四个命题中的真命题为(

) A．若sin A＝sin B，则A＝B

B．∀x∈R，都有x2＋1>0 C．若lg x2＝0，则x＝1 D．∃x0∈Z，使1<4x0<3 解析：选B

A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命13题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得

123．命题“∃x0∈R,2x0<或x0>x0”的否定是(

) 212A．∃x0∈R,2x0≥或x0≤x0

21B．∀x∈R,2x≥或x2≤x

21C．∀x∈R,2x≥且x2≤x

212D．∃x0∈R,2x0≥且x0≤x0

2解析：选C

原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(

) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数

1D．存在一个负数x，使x>2 解析：选B

A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于1任一个负数x，都有x<0，所以D是假命题．

5．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(

) A．(0,4] C．(－∞，0]∪[4，＋∞)

B．[0,4]

D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析：选D

当a＝0时，不等式恒成立；

当a≠0时，要使不等式恒成立，

a>0，a>0，则有即2解得0

综上，0≤a≤4，则命题p：0≤a≤4，

所以綈p：a<0或a>4. 6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等；

②有两个角相等的三角形是等腰三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．

答案：①②③

④

7．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．

解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．

答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 18．已知命题“∃x0∈R,2x20＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是2________．

1解析：原命题等价于“∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0”是真命题，即Δ＝(a－1)2－4<0，2解得－1

(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin

β；

(2)∃x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；

(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；

(4)正数的绝对值是它本身．

解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0. (2)真命题．命题的否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20. (3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．

(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．

xπ10．已知命题p：∀a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝3sina＋3的周期不大于4π.

(1)写出綈p；

(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．

解：(1)綈p：∃a0∈(0，b](b∈R且b>0)，

xπ函数f(x)＝3sina0＋3的周期大于4π.

(2)因为綈p是假命题，所以p是真命题，

所以∀a∈(0，b]，2π≤4π恒成立，解得a≤2，

1a所以b≤2，所以实数b的最大值是2.

层级二

应试能力达标

π0，，f(x)<0，则(

) 1．已知f(x)＝3sin x－πx，命题p：∀x∈2π0，，f(x)≥0 A．p是假命题，綈p：∀x∈2π0，，f(x0)≥0 B．p是假命题，綈p：∃x0∈2π0，，f(x)≥0 C．p是真命题，綈p：∀x∈2π0，，f(x0)≥0 D．p是真命题，綈p：∃x0∈2π0，π时，0，，sin x

由正弦函数的图象，知∀x∈又3<π，∴当x∈22π0，，f(x)<0恒成立，∴p是真命题．又全称命题的否定是特称命题，3sin x<πx，即∀x∈2π0，，f(x0)≥0. ∴綈p：∃x0∈212．已知命题p：∀x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q：∃x0∈R，sin x0－cos x0＝2.则下列2判断正确的是(

) A．p是真命题

C．p，q都是假命题

1解析：选D

p：2x2＋2x＋

211x2＋x＋＝2x＋2≥0，

＝242∴p为假命题，綈p为真命题．

πx0－，

q：sin x0－cos x0＝2sin4

B．q是假命题

D．綈q是假命题

3∴x0＝π时成立．

4故q为真，而綈q为假命题．

3．已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝列结论：

①命题p是真命题；

②命题q是假命题；

③命题(綈p)∧q是真命题；

④命题p∨(綈q)是假命题．

其中正确的是(

) A．②④

C．③④

B．②③

D．①②③

513；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋>0.给出下224解析：选C

对于命题p，因为函数y＝sin x的值域为[－1,1]，所以命题p为假命题；

1131－对于命题q，因为函数y＝x2＋x＋的图象开口向上，最小值在x＝－处取得，且f424411＝>0，所以命题q为真命题．

16由命题p为假命题和命题q为真命题可得：命题(綈p)∧q是真命题，命题p∨(綈q)是假命题．故③④正确．

4．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(

) A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

解析：选D

写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．

5．有下列四个命题：

①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；

②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；

③∃x0∈N，x20≤x0；

④∃x0∈N*，x0为29的约数．

其中真命题有________个．

解析：易知①③④正确．当x＝－1时，2x＋1<0，故②错误．

答案：3 6．已知命题p：∃c>0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：∀x∈R，x2＋2c－3>0.

若p∧q为真命题，则实数c的取值范围为________．

0<3－c<1，解析：由于p∧q为真命题，所以p，q都是真命题，所以解得20，

实数c的取值范围为(2,3)．

答案：(2,3) 7．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．

解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－a>0. 整理得a>－3或a>－2. 即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．

法二：綈p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，

令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，

f1≤0，1＋2a＋2－a≤0，则即

f2≤0，4＋4a＋2－a≤0.

解得a≤－3.故命题p中，a>－3. 即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．

8．已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，若命题“对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．

1解：易知f(t)∈2，3. 1由题意，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，则g(m)>0对∀m∈2，3恒成立．

11gx－2＋x－22>0，>0，所以2即2

2g3>0，3x－2＋x－2>0，解得x>2或x<－1. 故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

(时间120分钟

满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(

) A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

解析：选B

根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．

2．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

) A．充要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C

由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．

113．已知命题①若a>b，则a

) A．①的逆命题为真

C．①的逆否命题为真

B．②的逆命题为真

D．②的逆否命题为真

11解析：选D

①的逆命题为<则，a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的ab逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．

4．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(

) A．命题綈p是真命题

B．命题p是特称命题

C．命题p是全称命题

D．命题p既不是全称命题也不是特称命题

解析：选C

命题p：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈p是假命题．

5．下列命题中，真命题是(

) A．命题“若|a|>b，则a>b”

B．命题“若“a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题

C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题

D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”

解析：选D

原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.

6．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，11则a

) A．1 C．3

B．2

D．4 解析：选B

易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，綈p，綈q是假命题．

7．已知f(x)＝ex＋x－1，命题p：∀x∈(0，＋∞)，f(x)>0，则(

) A．p是真命题，綈p：∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)<0 B．p是真命题，綈p：∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)≤0 C．p是假命题，綈p：∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)<0 D．p是假命题，綈p：∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)≤0 解析：选B

由于函数y＝ex和y＝x－1在R上均是增函数，则f(x)＝ex＋x－1在R上是增函数，当x>0时，f(x)>f(0)＝0，所以p为真命题，綈p：∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)≤0，故选B. 8．下列关于函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x的描述，正确的是(

) A．∃a0∈R，当x>a0时，总有f(x)

解析：选A

在同一坐标系内作出两函数的大致图象，

两交点为(2,4)，(4,16)．

当x>4时，

由图象知f(x)

其余三命题均错误．

39．已知p：x≥k，q：<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是x＋1(

) A．[1，＋∞) C．[－1，＋∞) 解析：选B

B．(2，＋∞)

D．(－∞，－1) 3<1⇔x<－1或x>2.又p是q的充分不必要条件，则k>2，故选B. x＋110．下列判断正确的是(

) A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题

3B．命题“∀x∈N*，x3>x2”的否定是“∃x0∈N*，x0

C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件

D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件

3解析：选D

选项A是全称命题，不正确；选项B应该是∃x0∈N*，x0≤x20，不正确；对于选项C，f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，周期T＝2ππ＝，当a＝1时，周期是π，当周2aa期是π时，a＝1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的充要条件；选项D正确，故选D. 11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是(

) A．x<0 C．|x－1|>1

B．x<0或x>4

D．|x－2|>3 解析：选C

由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是必要不充分条件．故选C. 12．有下列命题：

①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；

④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．

其中正确的是(

) A．①②③

C．①③④

B．②③④

D．①④

解析：选C

①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；

②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；

③的逆命题为，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1. ∵当m＝0时，解集不是R，

m>0，∴应有

即m>1.∴③是真命题；

Δ<0，

④原命题为真，逆否命题也为真．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是________．

解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．

答案：若b∉B，则a∈A

14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．

解析：p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．

答案：p∨q，綈p

15．已知p：－40，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．

解析：p：a－4

q是p的充分条件，即q⇒p，

a－4≤2，∴解得－1≤a≤6. a＋4≥3，

答案：[－1,6]

1116．已知在实数a，b满足某一前提条件时，命题“若a>b，则a

1111解析：由题意，知ab≠0，当ab>0时，<⇔ab·<·ab⇔bb，则必有a>0>b，故a>0>b，所以原命题是假命题；若a

(1)对数函数都是单调函数；

(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；

1(3)∀x∈{x|x>0}，x＋>2；

x(4)∃x0∈Z，log2x0>2. 解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．

(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题．

(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题．

(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．

18．(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)能被6整除的数一定是偶数；

(2)当a－1＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1. 解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题．

(2)若a－1＋|b＋2|＝0，则a＝1且b＝－2，真命题．

(3)已知x，y为正整数，若y＝x2，则y＝1且x＝1，假命题．

1119．(本小题满分12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>xc1在x∈2，2上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．

解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，

对p，q进行分类讨论即可．

若p真，由y＝cx为减函数，得0

当x∈2x11f(x)＝x＋x在2，2上的最小值为2. 11若q真，则c<2，即c>. 211若p真q假，则0

221若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1. 210，∪[1，＋∞)．

综上可得，c∈2k120．(本小题满分12分)已知k∈R且k≠1，直线l1：y＝x＋1和l2：y＝x－k. 2k－1(1)求直线l1∥l2的充要条件；

(2)当x∈[－1,2]时，直线l1恒在x轴上方，求k的取值范围．

解：(1)由题意得k－1≠0，－k≠1，k1＝，2k－1

解得k＝2. 当k＝2时，l1：y＝x＋1，l2：y＝x－2，此时l1∥l2. ∴直线l1∥l2的充要条件为k＝2. f－1>0，k(2)设f(x)＝x＋1.由题意，得

2f2>0，

2×－1＋1>0，即k2×2＋1>0，k

解得－1

∴k的取值范围是(－1,2)．

21．(本小题满分12分)已知“∃x∈{x|－1

(1)求实数m的取值集合M；

(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．

11x－2－. 解：(1)由题意，知m＝x2－x＝2411－，2，故M＝－，2. 由－12－a，即a>1时，N＝(2－a，a)，

则a≥2，a>1，12－a<－，4

9解得a>. 4②当a<2－a，即a<1时，N＝(a,2－a)，

a<1，1则a<－4，2－a≥2，

1解得a<－. 4③当a＝2－a，即a＝1时，N＝∅，不满足M⊆N. 19－∞，－∪，＋∞. 综上可得a∈4422．(本小题满分12分)已知命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．

(1)求实数m的取值集合B；

(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：(1)命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，

∴m>(x2－x)max，得m>2，

即B＝{m|m>2}．

(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，

①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a

②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立；

③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a

2∴3a≥2，此时a∈3，1. 2综上①②③可得a∈3，＋∞.