3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示说课稿【一等奖】

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

一、内容与解析

(一）内容：

（二）解析：“空间向量的正交分解及其坐标表示”是数学选修2-1第三章的内容，是空间向量必不可少的基本概念之一，是我们利用坐标来表示空间向量从而简化向量的运算的的基础。这就要求学生能够熟练的掌握这个知识点，而要学好空间向量的坐标表示，关键是理解和掌握空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得pxaybz。其中c{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。对这个知识点的处理是使用类比的方法，通过平面向量基本定理提出空间向量是否也有类似的定理。然后通过先特殊再到一般这样的探究的过程，让学生参与整个教学过程，体现了新课改的新理念之一“探究性学习”。

二、教学目标及解析

(一)教学目标: 1.理解空间向量基本定理和正交分解原理，掌握空间向量的坐标表示，明确空间基底和基向量的含义. 2.会根据图形特点将空间向量用基底表示，进一步掌握空间向量的线性运算.

(二)解析: (1)就是指

三、问题诊断分析

在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是(),产生这一问题的原因是().要解决这一问题,就是要(),其中关键是().

四、教学支持条件分析

在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().

五、教学过程

问题1.

1.平面向量基本定理是什么？

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.平面向量的坐标表示的基本原理是什么？

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，若a＝xi＋yj，则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y). 若将向量a的起点移到坐标原点，则其终点坐标就是向量a的坐标. P C B

3.根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示，那么，对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？

探究（一）：空间向量基本定理

思考1：设a，b是空间不共线的两个向量，对于空间任意一个向量p，能用向量a，b线性表示吗？

[来源:Zxxk.Com]思考过点吗？

uuuruuuruuuruuur思考2：向量MP与向量OC的位置关系如何？向量MP用向量OC如何表示？

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur思考3：向量OP与OM，MP有什么关系？向量OP与OA，OB，OC有什么关系？

思考4：上述分析表明什么结论？如何用适当的语言阐述？

若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc. 思考5：上述结论就是空间向量基本定理，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，uuuruuuruuuruuur1：设a，b，c是空间不共面的三个向量，作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p，uuuruuuruuurP作PM//CO，交平面AOB于点M，那么向量OM能用向量OA，OB线性表示a，b，c都叫做基向量.那么空间任意三个向量都能构成一个基底吗？零向量能否作基向量？一个基底中的三个基向量是否要起点相同？

思考6：以{a，b，c}为基底，空间所有向量组成的集合如何表示？

{p| p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}. 思考7：对于基底{a，b，c}，设p＝xa＋yb＋zc，当x，y，z至少一个为0时，向量p的位置分别如何？

探究（二）：空间向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，若a＝xi＋yj，则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).那么在空间中，某个向量也应该可以用坐标来表示。怎样才能表示？如何表示呢？

思考1：若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底，在哪些空间几何图形中能找到正交基底和单位正交基底？

思考2：设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 对于空间任意一个向量p，用基底{ e1，e2，e3}可以怎样表示？

思考3：若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称为向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z).对一个给定的向量p，其坐标惟一吗？相等向量的坐标相等吗？

思考4：若向量C. 理论迁移

例1 如图，点M、N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等uuuruuuruuuruuuruuur分点，用向量OA，OB，OC表示OP和OQ.

O r1uuuuuurr1uuur1uuu OP=OA+OB+OC；

633r1uuuuuurr1uuur1uuuOQ=OA+OB+OC. 366M uuurp＝(x，y，z)，作OP=p，则点P的坐标是什么？

Q

A C P

N

B

例2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是CD1，C1D1的中点，

uuuuruuuruuuruuuruuur用基底{AB,AD,AA1}分别表示向量AM和AN.

D1

N C1

uuuurruuur1uuur1uuu AM=AB+AD+AA1；

22uuurruuuruuur1uuu AN=AB+AD+AA1. 2A1

D M B1

C B

D. 小结作业

[来源:Z.xx.k.Com]A

1.空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量线性表示，并且基向量的系数是惟一的，它是平面向量基本定理的推广，也是空间向量的合成与分解原理. 2.把空间向量放到空间直角坐标系中进行研究，向量可以用坐标表示，从而使空间向量的几何运算转化为坐标运算，其运算原理下节课再学习.

先复***面向量的基本定理“平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a,b来表示”。那么，对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？

问题一：设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且O，如图1所示，对于空间任意一个向量pop，i,j,k来表示。是否存在一个有序实数组{x,y,z}，pxiyjzk.

i k P o j 有公共起点如何用向量使得问题二：刚才是i,j,k两两垂直的情况。如果将条件换成i,j,k两两不垂直且不共面，结论还成立吗？

这里先让学生充分的讨论，然后根据学生讨论的情况与学生一起归纳小结。如果学生经过讨论没有达到预期的目标怎么办。为此，我根据前面学习过的向量加算中的探究问题，设计了下面的两个问题：（1）如图2中的平行体，向量AB,AD,AA'是不共面的三个向量，请问向量AC'与它们么关系？

由于有前面向量加法运算中的探究问题的结论做铺垫，学生难得出AC'ABADAA'，达到承上启下的作用；（2）如果向就不量法运六面是什AB,AD,AA'分别和向量a,b,c共线，能否用向量a,b,c表示向量AC'？这时，教师再加于指导学生利用向量的共线知识，学生此时很自然的得出结论，即AC'xaybzc。通过这些不同层次由特殊到一般的问题的设计，用类比的方法引出本节课的重点“空间向量基本定理”。

设计意图: 师生活动(小问题):

六、课堂目标检测

七、课堂小结及作业布置

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．

教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．

教学难点：理解空间向量基本定理．

自学导引

1.

空间向量的正交分解

设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个___________,使得___________，我们称___________为向量p在i,j,k上的分向量. 2.空间向量基本定理：

____________________________________________________________ 3. 基底，基向量

如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa +yb+ zc, x、y、z∈R}.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的，我们把___________叫做空间的一个基底，___________都叫做基向量.空间任何___________都可构成空间的一个基底. 4. 单位正交基底：

设e1,e2,e3为______________________的单位向量，称它们为___________.

5.

空间向量的坐标表示：

在空间选定一个___________{e1,e2,e3}，以e1,e2,e3的公共起点O为___________，分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的___________建立空间直角坐标系O—xyz.那么对于空间任意一个向量p,一定可以把它平行移动，使它的起点___________，得到一个向量___________.由空间向量分解定理可知，_________________________________.我们把___________称作向量p (在单位正交基底e1,e2,e3下)的坐标，记作___________.

此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系O—xyz中的坐标___________.

6.空间向量的坐标表示

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

则AB＝___________________________，AB＝__________________________ 1. 向量的直角坐标运算：设

a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴ab＝______________________；

⑵ab＝______________________；

⑶λa＝______________________；

⑷ab______________________ 2. 两个向量共线或垂直的判定：

a∥b_______________________; a⊥b_____________________. 3.向量的模长及夹角的坐标公式

设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则|a|=|a||b|aa =___________;

cos〈a, b〉=ab =______________________. 1.已知i,j,k是空间直角坐标系O—xyz的坐标向量，并且AB=-i+j-k,则B点的坐标为(

) A.(-1，1，-1)

B.(-i,j,-k) C.(1,-1,-1)

D.不确定

2.在空间直角坐标系O—xyz中，已知点A的坐标为(-1，2，1)，点B的坐标为(1，3，4)，则(

) A.AB =(-1，2，1 ) B.AB=(1，3，4) C.AB=(2，1，3) D.AB=(-2，-1，-3) 3.已知a=（2，-3，5），b=（-3，1，-4），则ab的值为______________. 4.已知A(3，3，3),B(6，6，6)，O为原点，则OA与BO的夹角是(

)

A.0

B.π

C. 32

D.2π

5.已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则|a-b+2c|等于(

) A.310

B.210

C.10

D.5 例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD，应用空间向量的运算办法解决下列问题：[来源:学,科,网Z,X,X,K]

（1）求证：EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成角的余弦；

（3）若A为C1G的中点，求FH的长.

三，知识反馈

1.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为(

) A.(1,3,2)

B.(-1,-3,2) C.(-1,3,-2)

D.(1,-3,-2) 2.向量a=(-1,2,3),则向量a的模是(

) A.14

B.14 C.11

D.11

3.已知A点的坐标是(-1，-2，6)，B点的坐标是(1，2，-6)，O为坐标原点，则向量OA与OB的夹角是(

) A.0

B.2

C.π

D.32 4.已知a=（2，-3，1），b=（2，0，3），c=（0，0，2）求

（1）a(bc) （2）a6b8c

A=(3,5,-7),B=（-2，4，3），求AB,BA,线段AB的中点坐标及线段AB的ABCD—AD1B1C1D1的棱长为a，

1

C1

A1

B1

A1B和B1C的夹角 （2）求证: A1BAC1

D C

A B

5.已知长

6.如图，正方体（1）求

[来源学§科§网][来源:学#科#网]