1.2.1 充分条件与必要条件优质教案设计

人教A版普通高中课程标准实验教科书

选修1-1第一章——常用逻辑用语

《1.2.1充分条件、必要条件》教学设计

福建省罗源第一中学

游敬龙

一、教材分析

“充分条件与必要条件”是人教A版《数学》选修1-1第一章简单逻辑用语第二节的内容。本节内容的教学至少需要两个课时，而本节课是这一节内容的第一课时。在选修中学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习。这使得逻辑用语的教学起到了承上启下的作用。

逻辑是研究思维规律的学科，而

“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用，学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用。逻辑用语被广泛用于日常生活，是语言表达、信息交流的工具，常用逻辑用语是数学语言的组成部分，是描述、判断、推理的工具，数学的大量命题都是使用它们描述的，学习数学离不开常用逻辑用语。

充分条件与必要条件这一节课是一节概念课，内容抽象，学生不容易理解，所以本节课应创设丰富的生活化情境，引导学生从已有的生活经验出发，亲自经历将生活原形抽象为数学模型．培养学生数学抽象及逻辑推理的数学素养。让学生体验数学源于生活，又广泛应用于生活．这种生活形成的数学，缩短了数学与生活的距离，培养了学生学习数学的兴趣，这样的教学，学生就会学得主动、积极，善于发现、探索和创新．

二、教学目标

1.知识与技能

理解充分条件、必要条件的概念；能正确判断是否是充分条件或必要条件；会用集合思想直观理解“充分条件”与“必要条件”，能理解“若p则q”为真与“p推出q”与“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”这四种表达形式的一致性。

2.

过程与方法

通过具体的生活实例，抽象出充分条件和必要条件的概念。亲自经历将生活原形抽象为数学模型．培养学生数学抽象及逻辑推理的数学素养。让学生体验数学源于生活，又广泛应用于生活．通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力；

学会用数学的观点分析解决实际问题；将“直观想象”，“数学抽象”和“逻辑推理”核心素养落实到课堂教学中。

3.

情感态度与价值观

通过对概念的探究、归纳和判定，感悟对立统一的思想，体会形与数的和谐统一美，经历由特殊到一般、从具体到抽象的思维方式，提高学生间的合作交流意识。通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。

教学重难点

重点：能从实际案例中抽象出数学的概念，理解充分条件与必要条件的定义；

难点：判定所给条件是“充分条件”还是“必要条件”

三.学生学情分析

学生已学完高中数学必修的全部内容，具备一定的逻辑推理能力和抽象能力，在知识上有一定的基础；同时，学生在日常生活中已有大量逻辑经验的积累，这都为本节课《充分条件、必要条件》概念课的学习奠定了良好的基础。

四、教学方法分析

本节课坚持以“学生为主体，教师为主导，探究为主线”，充分体现学生的主体地位，更多的时候培养学生独立思考，主动探究，合作交流的意识。采用了启发探究式的教学方式，师生共同探讨与研究问题，强调数学概念的生成过程。从实际问题出发引出课题，再详细挖掘概念，引导学生发现概念的内涵，最后应用概念解决问题，以此加深学生对知识本质的理解。在整个教学过程中，教师采用问题链的方式，让学生积极思考，主动学习。

本节课注重对学生的思维训练引导学生多角度的审视问题，让学生从不同角度去看待问题，分析问题，思考问题. 例如：在概念教学中，从

“数”与“形”两个角度入手，通过实例让学生亲身感知充分条件概念的发生与形成过程。

此外，通过具体问题引导学生从表达形式（符号表示与文字表示）、通俗语言的描述（有它就行和缺它不行）、不同概念间的联系（充分条件与必要条件和集合间的联系）来辅助概念教学. 设计思路

本节课先复习回顾命题的相关概念，为学生分析生活中的实例进行铺垫。然后从传统文化以及生活实例引入生，引导学生从数学案例中抽象出命题，分析命题的条件与结论之间的逻辑关系，培养学生数学抽象的素养，同时让学生感受数学是来源于生活，服务于生活的。对生活中实例的分析：学生能总结出对充分条件的理解：p成立足够的保证q成立，而对于必要条件的理解，教师就要从实例中引导学生从逆否命题角度理解：q 不成立,p一定不成立，即p成立必须具备q成立。在给出充分条件与必要条件的概念后，教师引导学生理解推出符号的意义，强调两个概念之间的联系，同时教师要给与学生足够的时间研究p和q的逻辑关系，培养学生分析问题、解决问题及逻辑推理的能力，也为了考查学生对“”的理解，以及培养学生语言表达的能力。为后续解决实际的数学问

题进行铺垫。

教学过程设计：

（一）温故知新：

复习：命题的概念及命题的常见形式。

问题1.什么是命题？

命题的概念：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

命题的常见形式：“若p，则q”，我们把这种形式中的p的叫做命题的条件，q叫做命题的结论。

问题2.若p则q真假不好判断时，你有其它的方法吗？

师生活动：学生回答，教师点评；教师注意命题概念的关键词；

【设计意图】：复习回顾命题的相关概念，重点强调条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫. （二）创设情境：

1.

传统文化引入

在我国战国时期，墨子在所著的《墨经》当中，说道

“有之则必然，无之则未必不然，…”必要条件：“无之则必不然，有之则未必然，… ”

你知道它们的意思吗？

【设计意图】：通过传统文化，激发学生学习兴趣，激发对民族文化的热爱，同时也为本节课的学习铺垫。

2.

生活情境引入：

(1)判断语句：“我们班的学生是高二学生”这句话是命题吗？条件p和结论q分别是什么？真命题还是假命题？p和q具有什么关系? （2）上述命题的逆否命题是什么？条件和结论分别是什么？是真命题还是假命题？p和q具有什么关系？

（3）上述命题的逆命题是什么？条件和结论分别是什么？是真命题还是假命题？p和q具有什么关系？

【设计意图】通过实例的引入，引导学生会分析实例的条件与结论之间的逻辑关系，从逆否命题的角度对必要条件意义的理解，为后续给出充分条件与必要条件的定义进行铺垫；此外，命题有真有假，通过对真假两种情况的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程. 3.

数学问题引入：

给出下面三个集合：

A={长方形}

B={正方形}

C={平形四边形} (1) 集合间有哪些关系？

(2) 能否构造“若p，则q”形式的命题？命题的真假性？

【设计意图】由学生自主回顾前面所学的内容，强调互为逆否命题的两个命题同真同假，通过预设问题自主构建命题的四种形式，为充分条件的学习铺垫过渡. (三)新知探究

1.引入概念：充分条件

问题1：

（1）如果“若p，则q”，是一个真命题，这时，我们就说由p可以推出q，用符号语言记作：pq. （2）如果“若p，则q”，是一个假命题，这时，我们就说由p不能推出q，用符号语言记作：pq. 你能举出一些在数学和生活中“若p，则q”形式的命题的例子吗？并判断给出的命题的是真命题还是假命题？

师生活动：学生思考举例

【设计意图】学生根据已有知识的体系提出问题，在学生的最近发展区构建新知，符合学生普遍的认知规律。同时，学生自己构建命题并判断真假的学习过程，也为下面学习充分条件和必要条件做好了铺垫。

问题2：请同学们把下面“若p，则q”的命题补充完整，使它成为一个真命题：

若

，则x21. （1）若x1，

则x21. （2）若x1，则x21.

（3）若x1，

则x21. 【设计意图】设计这个半开放性问题是对问题1的一个延续。为了使其成为真命题，学生在思考回答问题过程中，会发现使结论成立的条件并不唯一，而这一环节有利于充分条件概念的顺利生成。

2.生成概念：

如果“若p，则q”是一个真命题，即pq时，我们就称p是q的充分条件。同时称q是p的必要条件. “若p，则q”为假命题，我们就说，由p不可以推出q，记作pq.称p不是q的充分

条件. 同时称q不是p的必要条件. 3.理解概念：

问题1：结合刚才的实例分析，如果pq，如何理解p是q的充分条件？q是p的必要条件？. （1）有x1这个条件，就一定能推出x21成立。——有它就行.即“有之必然”。

（2）只有x1这个条件，使得x21成立吗？

——没它未必不行.即无之则未必不然

（3）若没有x21，不能推出x1或x1。——无它不行

，即“无之必不然”。

（4）若有x21，不一定能推出x1。——有它未必行，即“有之未必然，”。

【设计意图】意在揭示充分条件、必要条件概念的本质属性。以及他们之间的逻辑关系。

紧扣引入墨子所著的《墨经》，让学生体会充分条件、必要条件的内涵，感受历史文化，激发学生对民族文化的热爱和自豪感。“有之则必然，无之则未必不然，…”是对充分条件的阐述；“无之则必不然，有之则未必然，… ”是对必要条件的阐述。

从集合角度理解概念: 回顾前面内容：p:一个四边形是矩形,

q:一个四边形是平行四边形

pq（p是q的充分条件，q是p的必要条件）

为讨论充分条件、必要条件与集合的联系做铺垫. 思考：

充分条件和必要条件与集合之间的联系

已知p:xA,q:xB，且pq，集合A与B间之间有怎样的关系？

在A中，一定在B中：p成立，q一定成立；有它即可. 不在B中，一定不在A中：q不成立，p一定不成立；缺它不行. 【设计意图】从集合关系的角度帮助同学进一步理解“充分条件”和“必要条件”，并建立两者之间的联系，在提升学生对新知识的理解的同时，还可以使得学生对数学知识的掌握达到融会贯通的效果. 强调说明：①“pq”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示。

②充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行”，

即“有之必然”；必要条件的含义用通俗的语言来说是指“无它不行” ，即“无之必不然”。

例题分析：

例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

(1)若x1，则x24x30；

(2)若f(x)x，则f(x)在，上为增函数;

(3)若x为无理数，则x2为无理数；

【设计意图】通过课本例题的交流和学生自主运用新知举例，加深概念的理解. 通过实例分析，将新知的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程. 让学生多角度举例，直观感知并深刻理解概念. 例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件? (1)

若x

＝

y，则x2

＝

y2；[

(2)

若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

(3)

若a

＞b,则ac＞bc．

由学生多角度运用所学知识举与必要条件有关的例子. 【设计意图】通过实例分析，将新知（必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程. 让学生多角度举例，直观感知并深刻理解概念. (四)巩固练习

1：判断下面说法的真假，并用三种不同的等价说法描述这一逻辑关系。

（1）如果四边形是菱形，那么四边形是平行四边形；

（2）等边三角形等腰三角形；

（3）梯形是平行四边形的充分条件；

（4）ab=0是a=0的必要条件. 【设计意图】从四个角度给出，这样设计可以更好地了解到学生对概念的理解程度，以便发现问题，及时解决问题。

2：判断下列问题中，p是q的充分条件吗？

（1）p: x>a2+b2

q: x>2ab ; （2）p:两条直线的斜率相等；

q:两条直线平行；

; 解：因为在问题（3）和问题（4）中都有pq。所以，在问题（3）和问（4）中，p是q的充分条件。

问题：像在（1）（2）两个问题中p与q的关系应如何描述？

可描述如下：若有pq，称p不是q的充分条件，称q不是p的必要条件。

【设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念。

3：判断下列各组问题中，q是p的必要条件吗？

（1）p:{x|x>3}

q:{x|x>5} ;

（2）p: {x|x>0}

q:{x|x0} ; （3）p:同位角相等

q:两直线平行

;

（4）p:四边形对角线相等

q:四边形是平行四边形

; 解：因为在问题（2）和问（3）中都有pq。所以，在问题（2）和问（3）中，q是p的必要条件。在问题（1）和问题（2）中都有pq。所以，在问题（1）和问题（4）中，q不是p的必要条件。

强调说明：

(1) 充分条件与必要条件判断的关键：

①认清条件与结论；②考察pq或qp的真假。

(2)充分条件与必要条件和集合的关系:

①pq，相当于PQ，即

或

即：要使xQ成立，只要xP就足够了——有它就行．

②qp，相当于PQ，即

或

即：为使xQ成立，必须要使xP——缺它不行．

【设计意图】本例的设计和应用主要目的有：（1）强调条件和结论之间的推出关系，即推出箭头的方向性；（2）从集合关系的角度帮助同学们理解“充分条件”和“必要条件”；（3）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（4）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备。

(五)归纳总结

本堂课你有哪些收获？

师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：

（1）充分条件与必要条件的概念；（2）充分条件与必要条件的判断；

（3）充分条件和必要条件与集合的联系. 师生活动：学生总结本堂课的收获，教师点评；

设计意图：对本堂课内容的回顾；

(六)作业布置

P10 练习1-4

六、板书设计：

充分条件与必要条件

一、定义：

（1）

“若p，则q”真，记pq，则称p是q的充分条件；

（2）

“若p，则q”真，记pq，则称q是p的必要条件.

定义理解：

pq”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描①“述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示。

②充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行”，

即“有之必然”；必要条件的含义用通俗的语言来说是指“无它不行” ，即“无之必不然”。

二、如何判定

三、与集合的联系：

p:xA,q:xB且pq，则AB.

七、教学反思：

“充分条件与必要条件”是高中人教A版《数学》选修2-1第一章简单逻辑用语第二节的内容。本节内容的教学至少需要两个课时，而本节课是这一节内容的第一课时。

逻辑是研究思维规律的学科，而

“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用，学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用。进一步，在日常生活中，为了使我们的语言表达和信息的传递更加准确、清楚，常常需要一些逻辑用语，基本的逻辑知识、常用的逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具。

在选修中学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习。这使得逻辑用语的教学起到了承上启下的作用。

本节课先复习回顾命题的相关概念，为学生分析生活中的实例进行铺垫。然后从传统文化以及生活实例引入生，引导学生从数学案例中抽象出命题，分析命题的条件与结论之间的逻辑关系，培养学生数学抽象的素养，同时让学生感受数学是来源于生活，服务于生活的。对生活中实例的分析：学生能总结出对充分条件的理解：p成立足够的保证q成立，而对于必要条件的理解，教师就要从实例中引导学生从逆否命题角度理解：q 不成立,p一定不成立，即p成立必须具备q成立。在给出充分条件与必要条件的概念后，教师引导学生理解推出符号的意义，强调两个概念之间的联系，同时教师要给与学生足够的时间研究p和q的逻辑关系，培养学生分析问题、解决问题及逻辑推理的能力，

也为了考查学生对“”的理解，以及培养学生语言表达的能力。为后续解决实际的数学问题进行铺垫。