1.1.1 命题ppt课件配套教案内容

1.1

命题及其关系

1.1.1

命题

目标定位

1.理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题.2.能判断命题的真假.3.能把命题改写成“若p，则q”的形式.

自

主

预

习

1.命题的定义

(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句叫做真命题. (3)判断为假的语句叫做假命题. 2.命题的结构

从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 即

时

自

测

1.思考题

(1)疑问句是命题吗？

提示：不是，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)如何把命题改写成“若p，则q”的形式？

提示：分清条件和结论. 2.下列语句是命题的是(

) A.2 016是一个大数

B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点

C.对数函数是增函数吗

D.a≤15

解析

A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题. 答案

B

3.下列命题中是真命题的是(

) A.互余的两个角不相等

C.若a2＝b2，则|a|＝|b| D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

解析

由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的. 答案

C 4.命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是________，结论是________. 答案

函数为y＝2x＋1

该函数是增函数

类型一

命题的判断

【例1】

下列语句是命题的是(

) A.x－1＝0

C.你会说英语吗？

B.2＋3＝8 D.这是一棵大树

B.相等的两个角是同位角

解析

A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. 答案

B 规律方法

并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假. 【训练1】

判断下列语句是否是命题. (1)求证3是无理数；

(2)x2＋2x＋1≥0；

(3)你是高二学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果；

(5)一个正整数不是质数就是合数；

(6)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；

(7)x＋3>0.

解

(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题. 类型二

命题真假的判断

【例2】

判断下列命题的真假：

(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

(2)若x∈N，则x3>x2成立；

(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆. 解

(1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立. (3)真命题.∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根. (4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆. 规律方法

要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【训练2】

下列命题：

①若xy＝1，则x、y互为倒数；

②四条边相等的四边形是正方形；

③平行四边形是梯形；

④若ac2>bc2，则a>b. 其中真命题的序号是________. 解析

①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形. 答案

①④

类型三

命题的结构(互动探究) 【例3】

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. (1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)当ac>bc时，a>b；

(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

[思路探究] 探究点一

如何把命题改写为“若p，则q”的形式？

提示：分清条件和结论. 探究点二

如何判断命题的真假？

提示：推理论证与举反例. 解

(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数.真命题. (2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.假命题. (3)若ac>bc，则a>b.假命题. (4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等.真命题. 规律方法

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一. 【训练3】

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. (1)垂直于同一条直线的两条直线平行；

(2)负数的立方是负数；

(3)对顶角相等. 解

(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行.它是假命题. (2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数.它是真命题. (3)若两个角是对顶角，则这两个角相等.它是真命题. [课堂小结] 1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可. 2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式，含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变，且不写在条件p中.

1.下列语句不是命题的有(

) ①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数.

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

解析

①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题. 答案

B 2.下面有四个命题：

①集合N中最小的数是1；

②若－a不属于N，则a属于N；

③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；

④x2＋1＝2x的解可表示为{1，1}，其中真命题的个数为(

) A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

1解析

①假命题，集合N中最小的数是0；②假命题，如a＝2；③假命题，如a＝0，b＝1；④假命题，{1，1}与集合元素的互异性矛盾. 答案

A 3.下列命题：

①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直. 其中假命题的个数是________. 解析

①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直.矩形的对角线不一定垂直. 答案

4 4.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，同时指出它们的真假. (1)两条异面直线没有公共点；

(2)平行于同一条直线的两条直线平行. 解

(1)若两条直线是异面直线，则它们没有公共点.真命题.(2)若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行.真命题.

基

础

过

关

1.下列命题是真命题的是(

) A.{∅}是空集

B.{x∈N||x－1|<3}是无限集

C.π是有理数

D.x2－5x＝0的根是自然数

解析

x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数. 答案

D 2.已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是正确的.如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，在所得的命题中，真命题有(

) A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

解析

把α、β换成直线a、b时，则该命题可改写为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，由直线与平面平行的判定定理可知，该命题是正确的；把α、γ换成直线a、b时，则该命题可改写为“a∥β，且a⊥b⇒β⊥b”，它是判断直线与平面的位置关系的，显然是错误的；把β、γ换成直线a、b，则该命题改为“a∥α，b⊥α⇒a⊥b”，显然成立. 答案

C 3.已知下列三个命题：

11①若一个球的半径缩小到原来的2，

则其体积缩小到原来的8；

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等. 1③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2相切. 其中真命题的序号是(

) A.①②③

B.①②

C.①③

D.②③

解析

①是真命题；②标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，假命题；

③圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切，是真命题. 答案

C 4.给出下列语句：

①周期函数的和是周期函数吗？②sin 45°＝1；③x2＋2x－1>0. 则其中是命题的序号有________. 解析

①不是陈述句，不是命题；②是陈述句且能够断真假，是命题；③不能判断真假，不是命题. 答案

②

5.命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为_____________________________________________________________________

. 答案

若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称

6.判断下列命题的真假. (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最大值；

(2)正项等差数列的公差大于零；

1(3)函数y＝x的图象关于原点对称. 解

(1)假命题.当a>0时，抛物线开口向上，有最小值. (2)假命题.反例：若此数列为递减数列，如数列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3. 1(3)真命题.y＝x是奇函数，所以其图象关于(0，0)对称. 7.把命题“a>0时，函数y＝ax＋b的值随x值的增加而增加”改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. 解

a>0时，若x增加，则函数y＝ax＋b的值也随之增加，它是真命题. 8.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假. (1)当x＋y＝5时，x＝2且y＝3；

1(2)当m>4时，mx2－x＋1＝0无实根；

(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0. 解

(1)若x＋y＝5，则x＝2且y＝3. ∵x＝1，y＝4时，x＋y＝5.∴是假命题. 1(2)若m>4，则mx2－x＋1＝0无实根. ∵Δ＝1－4m<0，∴是真命题. (3)若ab＝0，则a＝0或b＝0，真命题.

能

力

提

升

9.已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是(

) A.若a∥b，则α∥β

B.若α⊥β，则a⊥b

C.若a、b相交，则α、β相交

D.若α、β相交，则a、b相交

解析

D中如果α、β相交，a和b可以相交，也可以异面. 答案

D 10.下列命题，是真命题的是(

) A.若a3＋b3＝0，则a2＋b2＝0 C.若M∩N＝M，则N⊆M B.若a>b，则ac>bc

D.若M⊆N，则M∩N＝M

解析

A中，a3＋b3＝0，且a≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M⊆N.故A、B、C皆错误. 答案

D 11.给出下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，是真命题的是________(填序号). 解析

命题①是假命题，“两条直线”应改为“两条相交直线”；命题②是面面垂直的判定定理，是真命题；命题③是假命题，垂直于同一直线的两条直线可能平行、异面或相交；命题④是面面垂直的性质定理的另一种说法，是真命题. 答案

②④

12.给出以下语句：

①三角函数是周期函数吗？②一个数不是正数就是负数；③老师写的粉笔字真漂亮！④若x∈R，则x2＋4x＋5>0. 其中为命题的序号是________，真命题的序号为________. 解析

①这是个疑问句，没有对三角函数是否为周期函数作出判断，故不是命题. ②是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数. ③该语句是感叹句，不符合命题定义，所以不是命题. ④是命题，因为Δ＝16－20＝－4<0，所以是真命题. 答案

②④

④

13.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：

(1)奇数不能被2整除；

(2)实数的平方是正数；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2. 解

(1)若一个数是奇数，则这个数不能被2整除，是真命题. (2)若一个数是实数，则这个数的平方是正数，是假命题.0的平方还是0，不是正数. (3)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题.例如y＝4，x＝3也符合条件. 探

究

创

新

14.已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得由A，B构造的命题“若p，则q”为真命题. 1＋a1＋a解

若A，则B，即“若x>5，则x>1”，由命题为真命题可知5≥1，解得a≥4；

1＋a1＋a若B，则A，即“若x>1，则x>5”，由命题为真命题可知5≤1，解得a≤4.