3.1.3 空间向量的数量积运算优秀教学设计

3.1.3 空间向量的数量积运算

一、教材分析

本节课是人教A版选修2-1第三章第1.3节的内容，是在学生学习了空间向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础。空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容。从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础。学生已经学习了立体几何，通常都按照传统方法解立体几何题，这就要求我们的学生需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。整体来看，本节课在整个高中数学中占有重要的地位。

二、学情分析

本节课授课对象是高二年级的学生，他们已熟知了实数的运算体系，学***面向量的一些内容，理解了向量的概念，对向量的加法、减法及数乘运算都应该较熟练，具备了功等物理知识，并且通过前面的学习初步体会了研究向量运算的一般方法。

三、教学目标

1. 知识与技能：

（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

（2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；

（3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题；

2. 过程与方法：

（1）经历空间向量数量积知识的形成过程；

（2）体会低维与高维相互转化的思维过程；

（3）发展联想、类比、探究的能力、培养数学表达和交流能力；

（4）培养用联系的观点看问题，渗透数形结合的思想；

3. 情感、态度与价值观：

（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心；

（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神。

四、教学重难点

教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用

教学难点：（1）两个向量的数量积的几何意义

（2）如何把立体几何问题转化为向量计算问题

五、教学策略

1、教法分析：

（1）本节属于概念教学，可采用以语言传递信息、分析概念的讲授法。

（2）在重点和难点上，采用举例的方法来提高学生的实际解题能力。

（3）通过知识对比来加强学生的知识迁移能力，顺便对已学过知识进行的复习。

2、学法分析：

在本节课的教学中，引导学生学会观察、分析讨论、类比归纳，以此增加学生的参与机会，增强学生的参与意识，让学生真正成为教学过程中的主体。

六、教学过程

（一）创设情境

引入新知

在平面向量的学习过程中，类比实数的四则运算，我们知道平面向量之间可以进行加减运算，实数与向量之间、向量与向量之间可以进行乘法运算，其中实数与向量的乘法叫做两向量的数乘，向量与向量之间的乘法有数量积和向量积。

上两节课我们已经学习了空间向量的定义及其加减运算和数乘运算，在学习过程中我们主要通过了解空间向量与平面向量之间的相同点与不同点，从而类比平面向量的相关知识学习空间向量及其运算。

平面向量作为一种工具，可以用来解决平面几何中的一系列问题，比如利用数量积运算求长度角度等。那么空间向量作为平面向量的推广，是否也有数量积运算，是否也能作为一种工具用来解决立体几何问题吗？今天，就让我们一起来探究空间向量的数量积运算。

（二）互动探究

温故知新

活动：所谓温故而知新，请大家先参照投影上的表格回顾平面向量数量积的相关内容。

学情预设：学生回忆得到平面向量夹角和数量积的定义以及数量积的几何意义、运算律及其应用。

空间向量是平面向量的一种继承和推广，那么空间向量的数量积运算是否也可以看做平面向量的数量积运算的一种继承和推广呢？它们之间有什么相同之处和不同之处呢？

在此之前，先来思考这样一个问题：

问题1：空间中两个向量的位置关系如何？

学情预设：空间中任意两个向量都是共面向量。

因为空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量，所以凡是涉及空间两个向量的问题，平面向量中的相关结论仍适用。

有了这一理论依据，就可以说，两个空间向量的数量积运算其本质就是两个平面向量的

数量积运算。

定义1：空间向量a，b的夹角

OB叫已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OAa，OBb，则A做向量a与b的夹角，记作a，b。通常规定0a，b，在此规定下两个向量的夹角就被唯一确定了，且a，bb，a. 由于零向量方向不定，所以我们不规定夹角；一般地，我们规定零向量与任一向量平行。

定义2：空间向量a，b的数量积运算

已知两个非零向量a与b，我们把数量abcosa，b叫做a与b的数量积，记作ab，即ababcosa，b. 规定零向量与任一向量的数量积为0.



有时我们也称数量积为内积。

数量积ab的几何意义为a的长度a与b在a方向上的投影bcosa，b的乘积（或b的长度b与a在b方向上的投影acosa，。其中，b在a方向上的投影b的乘积）bcosa，bab.

a可以说空间向量的数量积运算是对平面向量数量积运算的继承和推广，那么是否所有平面向量数量积的内容都可以一尘不变地照搬至空间向量中呢？有没有什么地方需要注意的呢？

学情预设：涉及三个不共面向量时，空间问题与平面问题可能会有所不同。

空间向量的数量积满足的运算律：

（1）abab；

（2）abba（交换律）；

（3）abcabac（分配律）. （各个向量和的投影等于各个向量投影的和.）



不难发现，运算律（3）涉及了三个向量，若这三个向量共面，那么这就是平面向量问题；若这三个向量不共面，分配律仍然成立，这一结论的严格证明可以在学习过空间向量的坐标运算后解决，现在我们先直观的感受一下这一结论。

根据数量积的几何意义可知，要说明abcabac，等价于说明bc在a方向上的投影等于b在a方向上的投影与c在a方向上的投影的和。现在我们通过一个图像来简单验证这一结论。

Cb+cAB'A'bBαβγC'a

数量积运算可以看作两个向量间的一种乘法，它和实数的乘法是不是相同呢？

思考：（1）对于三个均不为0的数a,b,c，若abcabc.那么对于向量a，b，c，abcabc成立吗？

学情预设：向量的数量积不满足结合律，即abcabc.

（2）对于三个均不为0的数a,b,c，若abac，则bc. 那么对于三个非零向量a，b，c，由abac，能得到bc吗？如果不能，请举出反例.

学情预设：不能. 当ab，ac时，abac0，但是不一定有bc.

一般地，当b，c在a方向上的投影相同时有abac0，但是不一定有bc.即数量积不满足消去律. cc（3）对于三个均不为0的数a,b,c，若abc，则a或b. 对于非零向量a，bakkb，若abk，能不能写成a或b？也就是说，向量有除法吗？

ba

学情预设：向量数量积运算的逆运算无意义，即我么你不定义一个实数与一个向量的除法.

（三）巩固练习

拓展新知

问题6：向量是一种工具，主要用来解决几何中的一系列问题。而在几何中，夹角和长度是两个最基本的几何量。平面中我们可以利用平面向量求角度和长度，那么，再推广到空间中以后是否还有相应的结论呢？

学情预设：求角公式：cosa，babab；

求长度：，

aa，即a

222a.

例1：（用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理）

m,n是平面内的两条相交直线. 如果lm,ln，

求证：l. 分析：要证明l，就是要证明l垂直于内的任何一条直线g（直线和平面垂直的定义）. 如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由lm，ln得到lg，就能解决此问题。

用空间向量解决立体几何问题时要关注以下几个问题：（1）如何把已知的几何条件转化为向量表示；（2）考虑未知的向量能否用基向量或其他向量表示；（3）如何对已表示出来的向量进行计算，获得结论。

证明：在内作任一直线g，分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.

因为m与n相交，所以向量m，n不平行. 由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对x,y，使

gxmyn.

将上式两边与向量l作数量积，得

lgxlmyln.

因为lm0，ln0，所以lg0. 所以lg，即lg.

这就证明了直线l垂直于平面内的任何一条直线，所以l.

练习：参照例1，证明三垂线定理及其逆定理.



（四）课堂小结

立几问题遇烦恼，向量内积来帮忙。证明定理显奇招，求角求长更风骚。

D'课后作业：如图，在平行六面体ABCDABCD中，AB4，

C'AD3，AA5，BAD90，BAADAA60，

求线段AC的长以及直线AC和BD的夹角的余弦值.

解：

ACABBCCCABADAA，

AA'DBB'CACABADAA22222 ABADAA2ABADABAAADAA15 43520102 85.222

AC85.

BDBAADADAB，BD5，

ACBDABADAAADAB2222 ABADADAAADABADABAAAB ADAAADABAAAB

32 1524102

19.219ACBD21985.

AC,BD850855ACBD1985直线AC和BD夹角的余弦值为.

850

小结：本题为常见的利用空间向量求长度和空间角问题，求解的过程中体现了空间基底的思想，为接下来学习空间向量的正交分解及其坐标表示做了铺垫。

（五）板书设计

§3.1.3 空间向量的数量积运算

一、空间向量数量积的概念 二、例题 1.空间向量的数量积运算的概念 例1 已知 (草稿)

证明：

2.空间中两向量的夹角和长度