探究与发现 为什么截口曲线是椭圆特级教师教学实录

《椭圆及其标准方程》教学设计及反思

扶风高中

任海岐

教学目标：

（一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．

（二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．

（三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．

教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

教学难点：椭圆标准方程的推导．

教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．

教学过程

（一）设置情景，引出课题:

1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实

物和图片，让学生从感性上认识椭圆.

2．通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹。

提问：点M运动时，F1、F2移动了吗？点M按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？

下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题：

1．在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？

3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？

.

（二）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？

2、研讨探究

问题：如图已知焦点为的椭圆，且=2c,对椭圆上任一点M，有

，尝试推导椭圆的方程。

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。

方案一 方案二

列式：

∴

化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）

两边平方，得：即两边平方，得：整理，得：令，则方程可简化为：

整理成：

指出：方程点是讨论：如果以直角坐标系，焦点是

叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，焦所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立，椭圆的方程又如何呢？

让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出：为椭圆的另一标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单．

引导学生思考：已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？

讨论得出：看，的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．

选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出也有a2－c2 = b2 ( b > 0 )。

+=1，同样教师指出：我们所得的两个方程圆的标准方程。

（三）归纳概括，方程特征

+=1和+=1（）都是椭1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；

（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；

（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；

（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。

2、在归纳总结的基础上，填下表

；

标准方程

+=1

+=1

图形

a,b,c关系

焦点坐标

焦点位置

在x轴上

在y轴上

（四）例题研讨，变式精析

例1、已知一个贮油罐横截面的外轮廓是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。

例2、将圆的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。

例3、求满足条件的下列方程

（1）两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10。

（2）两焦点坐标分别是（3）（五）课堂小结

，并且椭圆经过点。

（1）椭圆的定义及其标准方程；

（2）标准方程中的关系；

（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系

（六）作业布置：P28

习题 2.2.（1）

2

教学反思：

本节借助几何画板的演示功能，使学生通过点的运动，观察到椭圆的轨迹的特征。多媒体创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新. 学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.本节课从实例出发，用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究. 在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美. 在对教材中“令学生观察在当”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换.

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