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考点一

命题真假的判断

命题真假的判断是高考命题的重要内容之一，是高考的热点题型．这类题一般涉及一般命题真假的判断、含有逻辑联结词的命题真假的判断、含有量词的命题真假的判断、命题的四种形式的真假的判断等．并且这些内容一般不会单独命题，往往与其他相关的数学知识结合起来进行考查，且主要以选择题、填空题的形式进行考查．

ππ2x＋的图象关于x＝对称，[典例1]

(1)已知命题p：函数f(x)＝2sin命题q：函数f(x)36ππ2x＋向右平移个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假命题的是＝2sin36(

) A．┐p

B．p∨q

C．(┐p)∧q

D．(┐p)∧(┐q) 高考资源网版权所有，侵权必究！

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(2)下列命题中是假命题的是(

) π0，，x>sin x

A．∀x∈2B．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 C．∀x∈R,3x>0 D．∃x0∈R，lg x0＝0 π2π解析：(1)∵f＝2sin ＝3≠2，

63π∴f(x)的图象不关于x＝对称．故p为假命题．

6ππx－＋

∵平移后所得函数为y＝2sin263＝2sin 2x，易知此函数为奇函数，

∴函数图象关于原点对称，∴q为真命题．

∴(┐p)∧(┐q)为假命题．

π0，时，x>sin x．故选项A(2)根据三角函数的定义和三角函数线，可以证明：当x∈2xx＋∈[－2，2]，因此不可能存在x0∈R，使为真命题；对x∈R，sin x＋cos x＝2sin4sin x0＋cos x0＝2，故选项B为假命题；因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对∀x∈R,3x>0，故选项C为真命题；当x0＝1时，

lg x0＝lg 1＝0，故选项D为真命题．

答案：(1)D

(2)B [对点训练] 1．给出以下命题，其中为真命题的是________．

①函数y＝ax(a>0，a≠1)与函数y＝logaax(a>0，a≠1)的定义域相同；

π②若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝；

2③函数y＝(x－1)2与y＝2x－1在区间[0，＋∞)上都是增函数；

④若不等式|x－4|0. 解析：因为y＝logaax＝x，其定义域为R，与y＝ax的定义域相同，所以①为真命题；ππ若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则应有φ＝＋kπ(k∈Z)，不一定总有φ＝，故22②为假命题；函数y＝(x－1)2在区间[0，＋∞)上不是增函数，所以③为假命题；因为|x－4|的最小值等于0，所以当a≤0时，不等式|x－4|0，故④为真命题．

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答案：①④

考点二

充分条件、必要条件的判断及应用

1.充分条件、必要条件的判断问题，在高考试题中几乎是每年都考，也是近几年高考的一个热点题型，一般以选择题、填空题的形式进行考查，并且与其他数学知识的考查融合在一起．因此必须准确地理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，并能判断所给条件是结论的何种条件，还要能够利用充要条件解决问题，例如寻求某个结论的充要条件、求参数的取值范围等．

2．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

(1)充分不必要条件，即p⇒q，而q(2)必要不充分条件，即pp. q，而q⇒p. (3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p. (4)既不充分也不必要条件，既有p3．充分条件与必要条件的判断

(1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的) (2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“┐q⇒┐p”即“若┐q⇒┐p”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．

[典例2]

(1)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(2)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”是“A⊆B”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(3)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是(

) 1A．0

B．0

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q，又有qp.

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1C．0≤a≤1

D．a<0或a>

3解析：(1)由正弦定理，知a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔sin A≤sin B．故选A. (2)A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，所以A⊆B⇔a>4，

而a>5⇒a>4，且a>4/⇒a>5，所以“a>5”是“A⊆B”的充分不必要条件．

(3)要使不等式x2－2ax＋a>0的解集为R，应有Δ＝(－2a)2－4a<0，即4a2－4a<0，

所以00的解集为R”的充要条件，

因此一个必要不充分条件是0≤a≤1. 答案：(1)A

(2)A

(3)C [对点训练] 2．设a∈R，则“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

当a＝1时，f(x)＝1是偶函数；但当f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数时，有a2－1＝0，故a＝±1.因此“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的充分不必要条件．

3．给定两个命题p，q，若┐p是q的必要不充分条件，则p是┐q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

因为┐p是q的必要不充分条件，所以┐q是p的必要不充分条件，即p是┐q的充分不必要条件．

4．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是

(

) 1A．x＝－

B．x＝－1 2C．x＝5

D．x＝0 解析：选D

由a⊥b知a·b＝0，即2(x－1)＋2＝0，所以x＝0；而当x＝0时，a＝(－1,2), b＝(2,1)，必有a⊥b.所以a⊥b的充要条件是x＝0. 考点三

根据命题的真假性求参数的取值范围

1.设命题p为真，对应的参数取值范围的集合为A，则命题p为假的集合为∁RA. 设命题q为真，对应的参数取值范围的集合为B，则命题q为假的集合为∁RB. 高考资源网版权所有，侵权必究！

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2．已知命题中含有逻辑联结词时，应结合真值表，由复合命题的真假性推出其中的命题p，q的真假，再建立参数应满足的不等式(组)求得取值范围．

3．由全称命题或特称命题的真假求参数范围时，要对问题进行转化，借助恒成立问题、存在性问题的求解策略进行求解．

[典例3]

若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，－3]∪(2，＋∞)

B．[2，＋∞) C．(－2，＋∞)

D．(－2,2) 解析：选B

由题意，得ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，

即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，

a＋2>0，所以

16－4a＋2a－1≤0，a>－2，即2解得a≥2. a＋a－6≥0，

[典例4]

已知a>0，a≠1，设命题p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．

解：对于命题p：

当

0

当a>1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增．

∴若p为真命题，则01. 对于命题q：若函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，则Δ＝(2a－3)2－4>0，

15即4a2－12a＋5>0，解得a<或a>. 22∵a>0，

15∴若q为真命题，则0. 2215若q为假命题，则≤a<1或1

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0

5≤a<1或11，若p假q真，则

150，225解得a>. 215综上所述，实数a的取值范围是2，1∪2，＋∞. [对点训练] 5．设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．

解：若p为真命题，则－2－a<11. 若q为真命题，则－2－a<22. 依题意，得p假q真，或p真q假，

a>1，0

a>20

∴a的取值范围是(1,2]．

2x－x－6≤0，226．已知命题p：实数x满足x－4ax＋3a<0，其中a>0；命题q：实数x满足2

x＋2x－8>0.

(1)若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若┐p是┐q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，

∵命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，

∴x2－4x＋3<0，∴1

x＋2x－8>0，

－2≤x≤3，∴∴2

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∵p∧q为真，∴p为真，q为真，∴2

(2)∵┐p是┐q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，

∴q⇒p, p/⇒

q. ∵命题q：x满足2

命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，

3a>3，则a

a≤2，

∴实数a的取值范围为(1,2]．

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