3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优质课教案设计

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

一、教学背景分析

（一）教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标的转化，进而为后面的立体几何问题的解决服务. ．．．．．．．．．但同时，学生已经在之前的必修4中学***面向量的相关知识.因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比，引导学生体会．．与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳，体验数学在结构上的和谐性．．．．．．．．．．与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度增加所带来的影响.”．．．．（二）学生学情分析

在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学***面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：

1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.（重点）

2.用基底表示已知向量.(难点) 3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标. 二、教学目标设置

由于这一节内容起到了承上启下的作用，因此对这一节的掌握尤为重要，基底的定义以及坐标的表示对后面计算空间几何的问题有很大帮助因此本节课的教学目标设计如下：

1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.（重点）

2.用基底表示已知向量.(难点) 三、教学策略分析

由于学生已经学***面向量知识的基础，因此本节课想通过学生类比学习的方式让学生通过平面向量的知识类比出空间向量的基础知识，在整个学习过程当中，让学生处于主动的地位，自己去发现总结知识。获取更大的成功。

四、教学过程

为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下环节：

（一）引入

通过小说中的情节让学生去体会整个路径，提高学生的学习兴趣并设置两个问题：问题1：在胡八一的移动路线能让否用向量来表示？

问题2：这样一个移动过程能不能结合平面向量的构成形式来表示？

问题3：胡八一告诉大家向量AC坐标是（500，400，-15）大家能否找到准确位置？激发学生的求知欲。

（二）温故知新，建立定理

通过以上的一个实例让学生了解本节课学习的主要内容，并提出如何按照图片上的要求来表示？此时的学生活动是让学生回顾必修四的平面向量表示法，及平面向量表示的基本定理。并填写好学案。

问题：能否通过类比的方法把空间向量的基本定理写出来？我们可以通过修改平面向量基本定理的表述，得到空间向量基本定理吗？

空间向量基本定理：如果向量a，b，c不共面，那么对于空间中的任一向量p，存在唯一有序实数组{x,y,z}，使得pxaybzc，其中{a,b,c}称为空间的一．．．．组基底

教师总结：这个过程与平面向量基本定理十分相似，如果我们也给这个定理取一个名字，就可以把它叫做空间向量基本定理. （三）实例探究，应用定理

练习：1.以下四个命题中正确的是（ ）

A.

空间中任何一个向量都能够用三个给定向量来表示。

B.

若{a

b

c}为

空间中一个基底，则a

b

c全不为零向量。

C.

若向量a┷b，则

a

b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底。

D.

任何三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底。

自主练习：

例1 用基底表示向量

（四）空间当中坐标表示：

问题：胡八一的（500,400，-15）表示的是哪个方向的向量？而这个坐标表示是如何得到的？

引出空间当中的正交分解：通过让学生类比平面向量的正交分解来讨论猜想得出空间当中的坐标表示与平面坐标表示的区别，让学生自己得出坐标表示的方法。

教师总结： 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用向量e1e2e3

表示。

空间当中的坐标表示：

给定一个空间坐标系和向量p ,且设e1e2e3为互相垂直的坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，pxe1ye2ze3有序数组( 记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

练习：在空间坐标系o-xyz中ABe12e23e3， ( e1e2e3分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则向量AB的坐标为？ 例2：

P

注意：1.建立合适的坐标系

2.将向量进行分解

3.由空间正交分解的定义写出坐标

B

A

M

N

D

C

练习2.如图,边长为1的正方体OABC-O’A’B’C’中, AB’的中点为M,BC’的中点为N,求下列向量的坐标:向量

OB’OA OM ON CM

z

O'

C'

B

'A'

N

O

M

A

B

C

y

（五）回顾历程，小结复习

1.

空间向量基本定理,基底与基向量

2.空间向量的正交分解

3.思考：如果要把这种坐标表示的方法用到数学当中能够解决一些什么样的问题呢 ?