习题2.3优秀教学设计

课时跟踪训练(五十四) [基础巩固] 一、选择题

1．(2017·江西九江一模)若双曲线mx2＋2y2＝2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为(

) A．25

B.5

C．23

D.3 2x21[解析]

双曲线方程为y2－2＝1，∴－m＝4，∴m＝－2，双－m曲线的焦距为25，故选A. [答案]

A x222．(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线a2－y＝1的离心率的取值范围是(

) A．(2，＋∞)

C．(1，2)

B．(2，2) D．(1,2) 11＋a2，因为a>1，所[解析]

依题意得，双曲线的离心率e＝以e∈(1，2)，选C. [答案]

C 2y3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－3＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(

) 1123A.3

B.2

C.3

D.2

[解析]

解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2

y2时，代入双曲线C的方程，得4－3＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴；又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S113|AP|＝2×3×1＝2.故选D. △APF＝|PF|·2解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代y2入双曲线C的方程，得4－3＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因→→→→为点A(1,3)，所以AP＝(1,0)，PF＝(0，－3)，所以AP·PF＝0，所以113AP⊥PF，所以S△APF＝2|PF||AP|＝2×3×1＝2.故选D. [答案]

D x2y24．(2017·天津卷)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(

) x2y2A.4－12＝1

x22C.3－y＝1

x2y2B.12－4＝1 y2D．x－3＝1 2b[解析]

由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，a＝tan60°＝3，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝3，∴双曲线的方程为x2y2－3＝1. [答案]

D 2y5．(2018·广东六校联盟联考)设F1，F2是双曲线x2－24＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积

等于(

) A．42

B．83

C．24

D．48 [解析]

依题意，得F1(－5,0)，F2(5,0)，|F1F2|＝10. 4∵3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x. 4由双曲线的性质知3x－x＝2，解得x＝6. ∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，∴∠F1PF2＝90°，

1∴△PF1F2的面积＝2×8×6＝24.故选C. [答案]

C x2y26．(2016·天津卷)已知双曲线4－b2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(

) x23y2A.4－4＝1

x2y2C.4－4＝1

x24y2B.4－3＝1 x2y2D.4－12＝1 [解析]

根据对称性，不妨设点A在第一象限，其坐标为(x，y)，x＋y＝4，于是有by＝2x22

⇒y＝x＝4，2b＋44b·，22b＋4

则xy＝16bb2·＝⇒b2b＋422x2y2＝12.故所求双曲线的方程为4－12＝1，故选D. [答案]

D 二、填空题

7．若双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，焦距为10，则该双曲线

的方程为__________．

[解析]

设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，焦距2c＝10，c2＝25，

x2y2λ当λ>0时，λ－λ＝1，λ＋4＝25，∴λ＝20；

4λy2x2当λ<0时，λ－＝1，－λ＋－4＝25，

－λ－4∴λ＝－20. x2y2y2x2故该双曲线的方程为20－5＝1或5－20＝1. x2y2y2x2[答案]

20－5＝1或5－20＝1 x2y28．(2018·银川第二中学月考)若以双曲线2－b2＝1(b>0)的左、右焦点和点P(1，2)为顶点的三角形为直角三角形，则b等于__________．

x2y2[解析]

设双曲线2－b2＝1(b>0)的左、右焦点为F1(－c,0)，22F2(c,0)，依题意，kPF1·kPF2＝·＝－1，∴c2＝3，b2＝1，∴b1＋c1－c＝1. [答案]

1 x2y29．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．

b[解析]

双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝ax，

|ba－a×0|ab即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝＝c，因为∠b2＋a2ab3babMAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝c，即2＝c，所以e＝223＝3. 3[答案]

233

三、解答题

x2y210．如图，已知F1、F2为双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求：

(1)双曲线的离心率；

(2)双曲线的渐近线方程．

[解]

(1)∵∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°. |F1F2|2c43c1在Rt△PF2F1中，|PF1|＝＝＝，|PF2|＝2|PF1|cos∠PF1F2cos30°323c＝3，

23c又|PF1|－|PF2|＝2a，即3c＝2a，a＝3，

c∴e＝a＝3.

(2)对于双曲线，有c2＝a2＋b2，∴b＝

c2－a2b∴a＝a＝c2－a2. c2－1＝3－1＝2. a∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x. [能力提升] x2y211．(2017·广东佛山一中段考)已知双曲线a2－b2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D，且|CD|＝|CF2|，则双曲线的离心率为(

) A.6

B.5

C.3

D.2 [解析]

∵过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，且|CD|＝|CF2|，∴|DF1|＝2a，

aa由题意，切线的斜率为b，切线方程为y＝b(x＋c)，

bc与y＝－ax垂直，∴2a＝b，∴c＝a2＋b2＝5a，∴e＝a＝5，故选B. [答案]

B x2212．(2017·吉林长春市二模)已知双曲线C1：4－y＝1，双曲线x2y2C2：a2－b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是(

) A．32

B．16

C．8

D．4 x225[解析]

双曲线C1：4－y＝1的离心率为2，设F2(c,0)，双曲

b线C2一条渐近线方程为y＝ax，

bc可得|F2M|＝22＝b，

a＋b即有|OM|＝c2－b2＝a，

1由S△OMF2＝16，可得2ab＝16，

即ab＝32，又a2＋b2＝c2，

c5且a＝2，

解得a＝8，b＝4，c＝45，

即有双曲线的实轴长为16，故选B. [答案]

B x2y213．(2017·江西上饶一模)已知双曲线方程为2－b2＝1，若其m＋4过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是(

) 6A.1，

26C.1，

26

B.，＋∞26D.，＋∞

22b2[解析]

由题意，a＝2，a≥2，

∴b＝a，

∴e＝

∵e>1，

6∴1

A b21＋a2＝161＋a≤2，

x2y214．(2018·山东日照模拟)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)，其右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B，D，使△ABD为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．

b[解析]

双曲线C的渐近线方程为y＝±ax，要使△ABD为正三3角形，则只需过右顶点A，且斜率为3的直线与双曲线有两个不同的b3b3交点，即只需该直线的斜率大于渐近线y＝ax的斜率．∴3>a，∴b<3a. 1212232322即b<3a，则c

223又e>1，所以1

1

x2y215．(2017·云南省高三统一检测)已知双曲线M：a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，3B两点，与双曲线M的两条渐近线交于C，D两点．若|AB|＝5|CD|，则双曲线M的离心率是________．

2b2[解析]

设双曲线的右焦点为F(c,0)，易知，|AB|＝a.该双曲线bbc2bc的渐近线方程为y＝±ax，当x＝c时，y＝±a，所以|CD|＝a.由|AB|32b232bc3422＝5|CD|，得a＝5×a，即b＝5c，所以a＝c－b＝5c，所以ec5＝a＝4.

5[答案]

4

x2y216．设A，B分别为双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3. (1)求双曲线的方程；

3(2)已知直线y＝3x－2与双曲线的右支交于M，N两点，O为→→→坐标原点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝tOD，求t的值及点D的坐标．

[解]

(1)由题意知a＝23. b∵一条渐近线为y＝ax，即bx－ay＝0，右焦点的坐标为(c,0)，

∴由焦点到渐近线的距离为3，得2|bc|22＝3. b＋ax2y2∴b＝3，∴双曲线的方程为12－3＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，

则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 3x2y2将直线的方程y＝3x－2代入双曲线的方程12－3＝1，得x2－163x＋84＝0，

3则x1＋x2＝163，y1＋y2＝3(x1＋x2)－4＝12，

∴xy12－3＝1，2020x043y0＝3，

x0＝43，∴

y＝3，0

∴t＝4，点D的坐标为(43，3)．

[延伸拓展] x2y21．(2017·福州市高三质量检测)已知双曲线E：a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是

双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q.若|AQ|＝3，则双曲线E的离心率是(

) A．23

B.5

C.3

D.2 [解析]

如图所示，设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M.依题意知，|AF1|＝|AF2|，根据双曲线的定义，以及P是双曲线E右支上一点，得2a＝|PF1|－|PF2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF1|＝|AF1|＋|PA|＝|AF1|＋(|PM|＋|AQ|)，|PF2|＝|PM|＋|MF2|＝|PM|＋|QF2|＝|PM|＋(|AF2|－|AQ|)．所以2a＝2|AQ|＝23，即a＝3.因为|F1F2|＝6，所以c＝3，c3所以双曲线E的离心率是e＝a＝＝3，故选C. 3

[答案]

C x2y22．(2017·武汉武昌区高三三调)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，→→l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且AF与FB反向，则该双曲线的离心率为(

)

55A.2

B.3

C.5

D.2

[解析]

设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意b知tanα＝a，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan2αAB＝OA，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，1|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)＋m＝(m＋d)，整理，得d＝4m，2222tanαABm4bb1∴－tan2α＝－＝＝＝3，解得a＝2或a＝－2(舍去)，∴1－tan2αOA34mcb＝2a，c＝4a＋a＝5a，∴e＝a＝5.故选C. 22[答案]

C