3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计(第二课时)

普通高中课程标准实验教科书人教版A版 选修2-1 §3.1.1空间向量及其加减运算

教学设计

邢台市第二中学

赵永利

§3.1.1空间向量及其加减运算教学设计

邢台市第二中学 赵永利

一、教材分析

1、地位和作用

向量的是重要的数学工具，是代数学基本概念之一，不仅在解决与几何有关的“数、量和运算”关系中有着广泛的应用，而且在物理学、工程学等方面也有着广泛的应用，更是将来学习空间解析几何的基础.在《数学2》已经学习了立体几何初步以及在《数学4》中已经学***面向量，本节课要讲的空间向量与平面向量没有本质的差别，只是通过类比与归纳将思考维度从二维平面推广到三维空间，以便更好地解决一些立体几何问题.本节课的概念将是后续学习的基础. 2、教学目标

（1）理解空间向量及其有关概念. （2）掌握空间向量的几何表示法和字母表示法. （3）掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其加减运算的意义

1o理解“平行四边形法则”、“三角形法则”在空间的适用性

2o在图形中借助“平行四边形法则”、“三角形法则”理解空间向量加法的运算律

通过引导学生与平面向量及其运算类比学***面向量到空间向量的推广过程，培养学生类比归纳的能力，积累处理问题经验，提升学生勤于思考、勇于探索的思维品质. 3、教学重点和难点

【教学重点】

（1）空间向量的相关概念；（2）空间向量的加减运算

【教学难点】 空间向量的合理平移

二、学情分析

学生在《数学2》中学习了空间几何体以及在《数学4》中学***面向量，已具备一

定的空间想象你能力和相应的平面向量的知识，能够通过类比学习归纳新知识，为后续学习空间向量做好了准备. 三、教法与学法分析

教法：讲授，任务驱动，启发探究，演示

学法：观察，实践，讨论

四、教学思路设计

新课引入

教师活动：多媒体展示章头图，并配有文字说明（说明含有空间向量的影子）

学生活动：观察，思考文字说明

1

【设计意图】激发兴趣引发思考，为引入空间向量的概念做准备. 复习回顾

1.

平面向量的相关概念（1）向量（2）向量的长度（模）（3）零向量（4）单位向量

（5）相反向量（6）相等向量

2.平面向量的运算（1）加法（2）减法（3）数乘

3.平面向量加法的运算律（1）加法交换律（2）加法结合律

教师活动：多媒体投影，提出问题让学生思考回答

学生活动：思考并回答问题

【设计意图】复习旧知识，为本节课学习奠定基础. 探究新知

1.向量的有关概念

教师活动：多媒体投影如下表格，让学生回顾平面向量的有关概念并类比填写表格

向量

平面向量的有关概念

空间向量的有关概念

长度（模）

表示方法

零向量

单位向量

相反向量

相等向量

学生活动：类比平面向量，完成表格填写内容. 教师活动：做完后请学生回答，并提问：空间向量的这几个概念与平面向量中的概念有何区别和联系？

学生活动：讨论后总结：这些概念与平面向量的概念一样. 【设计意图】通过看课本和讨论，在熟悉和回顾平面向量相关概念的基础上，重新认识空间向量的相关概念，通过比较，引导学生类比学习，发现并解决新问题，为下一步类比平面向量的运算学习空间向量的运算作铺垫. 2.空间向量的加减运算及其运算律

（1）平面向量加减法：平行四边形法则、三角形法则

教师活动：多媒体展示平行四边形、三角形

bababaababbaab2

学生活动：回顾平行四边形法则和三角形法则使用的规律：

平行四边形法则中向量a，b的和向量和差向量分别是平行四边形的两条对角线；

三角形法则中，若干向量的和向量是通过平移使其首位顺次相接由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量；差向量则是由减数位置的向量终点指向被减数位置向量的终点的向量. 【设计意图】回顾旧知识，为空间向量的运算律理解做准备. 3.空间向量的加减运算

教师活动：提问：平面向量的平移会改变向量的大小和方向吗？空间向量平移呢？

学生活动：回答问题：不会改变. 思考空间向量的平移并回答问题：不会改变. 教师活动：提问：空间两条直线的位置关系有哪些？

学生活动：回答问题：相交、平行、异面；共面（相交、平行）、异面. 教师活动：那空间两个向量能否通过平移使其共面？

学生活动：回答问题：可以. 教师活动：多媒体展示两个向量平移过程.

学生活动：观察并思考空间向量的平移和平面向量的平移是一样的，空间任意两个向量可平移到同一个平面内，成为同一平面的两个向量. 教师活动：空间两个向量的加减运算和平面向量的加减运算一样吗？平行四边形法则和三角形法则在空间向量中还适用吗？多个向量的和向量呢？

aAabbbaOabcCcBbaababb学生活动：回答问题，并通过作图体验空间向量加法的意义. 教师活动：总结（1）两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立；（2）若干向量的和向量是通过平移使其首位顺次相接由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量；（3）

3

若首位相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0. 【设计意图】通过平面向量平移的不变性，理解空间向量平移的不变性，理解空间向量的加减运算和平面向量一样. 4. 空间向量加法交换律与结合律及其证明

教师活动：请同学们结合平面向量的运算律，写出空间向量的加法交换律和结合律. 学生活动：自主完成（1）加法交换律abba（2）加法结合律a(bc)(ab)c

教师活动：下面我们一起来证明一下，交换律自己证明，下面看结合律，其中当a，b，c共面时同平面向量自己证明，我们主要证明不共面时的情况

O

aAabcCcBbD因为OCOBBC(OAAB)BC(ab)c

OCOAACOA(ABBC)a(bc)

所以(ab)ca(bc)

在ADACB平行六面ABCDABCD中令ABa，ADb，AAc

同学们自己动手证明(ab)ca(bc)

并体会交换律、结合律.完成教材探究

C【设计意图】从空间不共面的角度证明加法交换律和结合律让学生对空间向量的运算律认识更深刻. B

5.应用举例

例1：判断下列命题是否正确

①若空间向量a,b满足ab，则ab（×）

②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同（×）

③空间向量AB与BA的长度相等（√）

④将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆（×）

⑤不相等的两个空间向量，模必不相等（×）

⑥在四边形ABCD中，一定有ABADAC（×）

⑦对任意非零向量a,b必有abab（√）

例2：有一个四边形ABCD，O为空间任意一点，且AOOBDOOC则四边形ABCD是（A）A.平行四边形

B.空间四边形

C.等腰梯形

D.矩形

例3：在平行六面体ABCDABCD中，ABa,ADb,AAc则DB（

C ）

A.abc

B.ab+c

C.abc

D.abc

4

6.巩固提高

回归教材：完成引例中合力的方向

2题

课堂练习：教材P86练习第1、F1

F2

F3

学生活动：自己在练习本上完成

教师活动：巡视观察解答情况，解答完毕后让一名学生公布答案. 【设计意图】学以致用，培养学生独立解决问题的能力. 7.课堂小结

（1）知识：空间向量的有关概念，空间向量的加减运算及运算律. （2）方法：类比，由平面向量类比到空间向量进行学习. 教师活动：布置任务，并让一名学生回答. 学生活动：梳理后回答，有问题时其他学生补充. 【设计意图】养成反思总结的好习惯，在总结中巩固提升. 8.作业布置

思考问题：求证：

MNM、N分别是四面体ABCD的棱AB、CD的中点，如图，

AMBD1(ADBC)(1)2证明：

MNMAADDN(2)

MN

MBBCCN

(1)(2)MAMB,DNCN2MNADBC1MN(ADBC)2NC教师活动：多媒体展示例题，让学生独立思考MN如何表示

学生活动：独立完成

教师活动：巡视辅导，并拿一名同学的答案展示. 强调：步骤，并注意问题：用已知向量如何表示未知向量，然后进行加减运算. 【设计意图】举例说明解题步骤，培养学生独立分析解决问题的能力和规范答题的习惯. 2题，课时练中相关题目. 教材P86第3，P96习题3.1第1、五、板书设计

§3.1.1空间向量及其加减运算

1.

空间向量的相关概念

3.

例题讲解

4.

巩固提高

例1

例2

例3

例4

5.

课堂小结

6.

作业布置

2.

空间向量的加减运算及运算律

例5

例6

例7

例8

5