3.1.3 空间向量的数量积运算公开课教案

人教A版

选修21

第三章

空间向量与立体几何

3.1.3空间向量的数量积运算

（教案）

空间向量的数量积运算

一、内容分析

《空间向量的数量积运算》是人教A版选修2—1，第三章第一节的知识内容。向量自从20世纪末进入高中教材，就以其数与形的双重属性，成为高中数学除函数之外的另一条学习主线。新教材将向量的内容分为必修和选修两部分，在必修中学生主要学***面向量的相关知识及其应用，选修中学生通过类比将向量知识由平面推广到空间，主要是为了改善立体几何的学习，实现几何问题代数化。

本节课是在学生掌握了平面向量及其运算，并已将平面向量加法、减法、数乘运算推广到空间的基础上，把平面向量数量积推广到空间，进一步让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比与归纳的数学思想方法的应用。并让学生初步体会如何将立体几何问题转化为向量的计算问题，为利用向量法解立体几何做好铺垫。

因此，根据以上分析，结合《课程标准》的要求，制定了本节课的教学目标。

二、目标解析

知识与技能：

（1）掌握空间两个向量数量积的运算及应用，

（2）初步体会如何将立体几何问题转化为向量的计算问题

过程与方法：

（1）体会低维与高维相互转化的思维过程

（2）发展联想、类比、探究的能力、培养用联系的观点看问题，渗透数形结合的思想

情感与态度：（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心

（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神

三、学情分析

学生已经掌握平面向量数量积的相关知识，并已有将平面向量线性运算推广到空间的经验，因此类比得到空间向量数量积运算并无困难，但结合学生观察及形象思维能力强，而空间想象能力及转化化归能力不足的特点，制定了本节课的教学重点和难点：

重点：空间两个向量数量积的计算方法及其应用。（类比思想方法的应用）

难点：如何将立体几何问题转化为向量的计算问题。（数形结合及转化的思想方法的应用）

四、教学策略分析

我们说“问题是数学的心脏”，因此我采用问题驱动式教学，围绕这样的问题链展开：

[来源:Z+xx+k.Com]

向量数量积运算能否推广到空间？

推广后所有运算性质是否依然成立？

利用数量积可以解决立体几何的哪些问题？

如何将立体几何问题转化为向量的计算问题？

引导了学生探究性思维活动，使学生在思考、讨论、交流中感受每个知识点的产生和发展过程

设计意图：布鲁纳告诉我们“认识是一个过程，而不是一种产品”。我们学生学习的过程就是一个自我发现的过程，那么我们根据布鲁纳的发现教学法，教师为学生提供有效的问题情境，学生通过类比归纳，合作探究，交流展示，归纳总结为主要的学习方式，体现其主体地位。教师在教学中作为问题的设计者，组织者，合作者，引导者，体现其主导地位。

五、教学过程分析来源学科网

（一）创设情境

形成概念

由于学生已经将向量的线性运算由平面推广到空间，熟知空间任意两个向量通过平移均可以转化为平面向量，并明确利用类比的数学方法研究空间向量问题，因此我直接设置了

问题一：已知正方体ABCDA中，E为DD1的中点

1B1C1D1如何确定AA1与CE的夹角？

引导学生类比平面中两个向量的夹角，归纳得出

空间两个向量夹角的定义以及空间向量数量积的运算公式

D1

C1

A1

E

D

B1

C

B

A

设计意图：在学生思维的最近发展区设置问题，引导学生从已有知识和方法中，寻求解决问题的途径。培养学生根据已有知识，思考、探索未知世界的能力。

概念得出后，紧接着我设置了问题一的变式

变式一：求 cosAA1,EC

变式二：求异面直线AA1与EC所成角的余弦值

设计意图：强调向量夹角要关注向量的方向，体会向量夹角与异面直线所成角的区别与联系，为向量法解立体几何做好铺垫。

（二）合作探究 探索性质

由学生继续通过类比平面向量数量积的相关知识，归纳空间向量数量积的运算律。

问题二：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，那么空间任意三个向量平移后是否一定共面？那么

当向量a,b,c不共面时，a(bc)abac（分配律）还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由。

问题给出后我先让学生独立思考，再由小组讨论交流，最后学生自我展示

设计意图：使学生明白类比并非简单模仿，要注意维数增加可能会产生的影响。对学生出现的问题，通过小组合作交流，使学生自己寻找解决问题的途径，教师仅在关键时刻给予指导，形成师生、生生之间全方位、多层次、多角度的交流模式，最终达到使学生学会、会学、乐学的目标。

在讨论中学生主要出现以下问题：

（1）以特殊位置代替一般情况

（2）无从下手，缺乏数形结合思想的应用意识

（3）知道数形结合，但空间想象能力不足，不会画图

（4）对向量相等及向量投影的理解不到位

学生通过小组合作探究，

互助交流，使问题得以解决。

（1）

懂得特殊化的思想虽然好，但证明一个命题是正确的要给出一般化的严格证明

（2）

加强了数形结合的思想方法的应用意识

（3）

增强了空间构图能力

（4）

加深对向量平移及向量投影的理解与应用意识

通过以上探究学生掌握了空间数量积的概念、计算方法和运算律。进而给出

问题三：应用空间向量数量积能解决立体几何中的哪些问题呢？再次引导学生类比平面向量的应用

a

b



0



a



b

(

a



0,

0)

证垂直

b



a



b

求夹角

cosa,b(a0,b0)

ab

2

求长度

aaaa

来源学科网[来源:学_科_网]

设计意图：引入空间向量主要是为了改善立体几何的学习。欧氏几何体系没有一个能让学生俯瞰全局的制高点，许多问题需要作辅助线，而向量法程序化强，便于操作。体会数学家吴文俊先生所说的：几何研究要“腾飞”必须采取“数量化”的方法，使学生明确知识的应用价值，也为用向量解决立体几何做好铺垫。

进一步引导学生，如果我们把平面看成二维空间，把普通的空间看成三维空间，我们能不能把向量推广到四维（例如由“长”、“宽”、“高”，“时间”等四个维度构成的空间）、五维……等“空间”中去呢？

指导学生阅读课本阅读材料

设计意图：与此同时我鼓励大家，同学们要敢于设想，勇于探索发现，善于发现问题，提出问题，也有可能为数学的发展甚至人类进步作出贡献。

（三）初步应用

体会方法

例1（用向量法证明）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）

例2 （用向量法证明）直线和平面垂直的判定定理

已知：m,n是平面内的两条相交直线，如果lm,ln 求证：l．

教学中我按如下过程引导学生思考

（1）

如何把已知的几何条件转化为向量表示

（2）考虑未知向量能否用基向量或其他已知向量表示

（3）如何对已经表示出来的向量进行运算，获得需要的结论

设计意图：两个例题目的在于让学生体会用向量解决立体几何问题的思考方法，步步引导启发学生思路，形成好的分析方法，体会向量解决立体几何问题的思路，感受向量基底在向量运算中的作用，培养学生转化与化归的数学思想

（四）回顾小结

整体感知

学生从以下两方面梳理本节课的收获：

（1）本节课学了哪些数学知识？

（2）体现了怎样的数学思想和数学方法？

设计意图：通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，使学生完成知识建构。

（五）课后作业 巩固延伸

在本节课学习的基础上布置如下作业：

1.

课本P92练习2、3 2.

阅读课本P99阅读与思考 《向量概念的推广与应用》

设计意图：通过课下作业进一步体会知识的应用，增强主动探究的意识和能力。

六．板书设计

3.1.3

空间向量的数量积运算

1.空间两个向量的夹角

例1

例2

2.空间两个向量的数量积

3.数量积满足的运算律

七、教学反思

作为一名教师，我的教学教学本意不单单是教会学生知识本身，更是要使学生学会学习，所以我的课程设计意在把科学知识作为培养学生思维能力的载体，用课堂为学生搭建一个自主学习，发现探究的平台。

以上是我对这节课的设计，有不足之处还请各位老师评委批评指正

最后我已赫尔巴特的名言

“发挥我们的创造性，使教育的过程成为一种艺术的事业”作为结束语，以期共勉。

来源:Zxxk.Com]