1.4.1 全称量词优质课教案内容

1.4.1全称量词与存在量词（一）量词

教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。

教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；

教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；

课

型：新授课

教学手段：多媒体

教学过程：

一、创设情境

在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。

问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词

①一

纸；②一 牛；③一 狗；④一 马；⑤一

人家；⑥一

小船

①张②头③条④匹⑤户⑥叶

什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。

二、活动尝试

所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。

问题2：下列命题中含有哪些量词？

（1）对所有的实数x，都有x2≥0；

（2）存在实数x，满足x2≥0；

（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；

（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；

（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得

s = n × n；

（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有

s = n × n；

上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。

三、师生探究

命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。

全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。”

存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。”

含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。

单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。

全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的

1

量词标志，如“人类是有智慧的。”

特称命题：其公式为“有的S是P”。例句：“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。

问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？

（1）方程2x=5只有一解；

（2）凡是质数都是奇数；

（3）方程2x2＋1=0有实数根；

（4）没有一个无理数不是实数；

（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；

（6）集合A∩B是集合A的子集；

分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；

四、数学理论

1．开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0. 2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：

(1) 全称量词

日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作x、y等，表示个体域里的所有个体。

(2) 存在量词

日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x，y等，表示个体域里有的个体。

3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。

全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:xM,p(x)

存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:xM,q(x)

注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。

五、巩固运用

例1判断以下命题的真假：

2（1）xR,xx （2）xR,xx （3）xQ,x80 （4）xR,x20

222分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；

例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：

第一步：设a=b，则有a2=ab

第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2

第三步：因式分解得

(a+b)(a-b)=b(a-b)

第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b

第五步：由a=b代人得，2b=b

第六步：两边都除以b得，2=1

2

分析：第四步错：因a-b＝0，等式两边不能除以a-b

第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。

心得：(a+b)(a-b)=b(a-b)

a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。

同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。

例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。

（1）中国的所有江河都注入太平洋；

（2）0不能作除数；

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；

（4）每一个向量都有方向；

分析：（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；

（2）存在性命题，0∈R，0不能作除数；

x（3）全称命题，

x∈R，x；

1（4）全称命题，a，a有方向；

六、回顾反思

要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。

要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。

即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。

七、课后练习

1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（

）

A．所有奇数都是质数

B．xR,x11

C．对每个无理数x，则x2也是无理数

D．每个函数都有反函数

2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（

）

A．x,yR，都有xy2xy

B．x,yR，都有xy2xy

C．x0,y0，都有xy2xy

D．x0,y0，都有xy2xy

3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是

A．xR,x10 B．xR,x10

C．xR,sinxtanx D．xR,sinxtanx

4．下列命题中的假命题是（

）

A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ

5．对于下列语句

（1）xZ,x3

（2）xR,x2

（3）xR,x2x30

（4）xR,xx50

222222222222222

3

其中正确的命题序号是

。（全部填上）

6．命题(ab)b12abb1是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。

参考答案：

1．B 2．A 3．D 4．B 5．（2）（3）

6．不是全称命题，补充条件：ab1（答案不惟一）

当ab1时, ab0，b10

(ab)2(ab)ab

b1b1b1

1.4.2全称量词与存在量词（二）量词否定

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.

教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点：隐蔽性否定命题的确定；

课

型：新授课

教学手段：多媒体

教学过程：

一、创设情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）xR，x2-2x+1≥0

分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)

（3）xM,p(x)，否定：xR，x2-2x+1<0；xM,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究

4

问题2：写出命题的否定

2（1）p：

x∈R，x＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；

（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1） xR，x2＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：痧U(AB)UA?B)UB,痧U(AUA?UB

四、数学理论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为：

xM,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定

词语

词语的否定

词语

是

一定是

都是

大于

小于

且

不是

一定不是

不都是

至多有一个

小于或等于

大于或等于

所有x不成立

或

必有一个

至少有n个

所有x成立

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个定

有

个

个

成立

成立

五、巩固运用

例1

写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；

（2）p：xR，x2＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；

2（4）p：

x∈R，x－x+1＝0；

分析：（1） P：有的人不晨练；（2）

x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x2－x+1≠0；

例2

写出下列命题的否定。

（1）

所有自然数的平方是正数。

（2）

任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3）

对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

5

（4）

有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3

写出下列命题的否定。

（1）

若x2＞4 则x＞2.。

（2）

若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

（3）

可以被5整除的整数，末位是0。

（4）

被8整除的数能被4整除。

（5）

若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

2解（1）否定：存在实数x0，虽然满足x0＞4，但x0≤2。或者说：存在小于或等于2的数x0，2满足x0＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）

2（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x0+ x0-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除) （5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例4

写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；

（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：（1） P：若

x＞y，则5x≤5y；

假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2） P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题

否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。

（3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；

6

而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3．

原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为

“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

六、回顾反思

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

七、课后练习

21．命题p：存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）

2A.存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0无实根；

2B.不存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；

2C.对任意的实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；

2D.至多有一个实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；

2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（

）

A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．非以上错误

3．命题“xR，x2-x+3>0”的否定是

4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是

否命题是

5．写出下列命题的否定，并判断其真假：

2（1）p：m∈R，方程x+x-m=0必有实根； （2）q：R，使得x2+x+1≤0； 6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．

（2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若ABC是锐角三角形，

则ABC的任何一个内角是锐角．

（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．

八、参考答案：

1．

B

2．C 3． xR，x2-x+3≤0 4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除

否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除

25．（1）p：m∈R，方程x+x-m=0无实根；真命题。

（2）q：R，使得x2+x+1>0；真命题。

6．

⑴ 若m>1，则方程x-2x+m=0无实数根，(真)；

⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；

⑶若ABC是锐角三角形，

则ABC的任何一个内角不都是锐角(假)；

⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；

⑸若(x-1)(x-2)=0，则x1

或x2，(真)．

7 2

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