3.1.1 空间向量及其加减运算教案教学设计导入设计

第三章

空间向量与立体几何

课标要求

课标要求

学习目标

重点

难点

课时

3.1.1 空间向量及其加减运算

师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。

学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学***面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书）

（在黑板或背投上呈现或边说边写）

1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量；

2、平面向量的表示方法：

5课时

教具

背投、电脑

空间向量的数量积，并用其判断向量的共线与垂直

1、了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及坐标表示

2、掌握空间向量的数量积及其坐标运算，会判断向量的共线（平行）与垂直

3、能用向量方法证明线面位置关系的一些定理，能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题。

4、体会向量方法在研究几何问题中的作用。

§3.1空间向量及其运算

1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

层次：2.1 2、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理层次：1.1 1.1 及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

1.3 3、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

层次：1.3 4、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向层次：1.3 1.2 量的数量积判断向量的共线与垂直。

1、类比平面向量掌握空间向量的线性运算及坐标运层次：1.2 算

判断向量的共线与垂直

空间向量的线性运算及坐标运算

1.3 2、掌握空间向量的数量积及坐标形式，并能运用它层次：1.3 1.2

①

几何表示法：_________________________ ②

字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头）

3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量：

①

零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性）

②

单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向）

③

相等向量：____________________________ ④

相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法：

6、平面向量的减法：

7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

数乘结合律：λ（a）=()a

[师]：刚才我们复***面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟）

[师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间）

[师]：空间向量与平面向量有什么联系？

[生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及

空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

[师]：请同学们试着完成P85的探究。

在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，AB+AD+ AA’=AC’

AB+ AA’+ AD= AC’

所以

（AB+AD）+AA’=（AB+AA’）+AD 所以

三个不共面向量的和等于以该三个向量为邻边的

平行六面体的体对角线所表示的向量。

完成书P86的练习3 师：下面来练习打开同步P95 做

1、2、3、5

师：今天的作业：

1、同步P95 练习二十五

做完

2、书P97 习题3.1 A组

1、2做书上

反思：

3.1.2

空间向量的数乘运算（可分两课时）

[师]：上节课我们学习了空间向量的相关概念，这节课我们来学习共线向量与共面向量定理，请看学习目标。（展示学习目标）

学习目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

[师]：请看自学指导

请同学们认真阅读书P86-87的内容，

⑴怎样的向量叫做共线向量？

⑵两个向量共线的充要条件是什么？

⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？

⑷什么叫做空间直线的向量表示式？

⑸怎样的向量叫做共面向量？

⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？

⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？

（结合自学指导，略作解答）

1、共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做

共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

注意：零向量与任意向量都是共线向量。

2、共线向量定理：

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．

推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②（要知道这个推论的条件）

lPBa[师]：如何证明这两个推论呢？

A因为l∥a，满足AP=ta,又因AP=OP-OA, 所以OP=OA+ta,若在l上取AB=a，则有OP=OA+tAB，进一步，

O因为AB=OB-OA,所以OP=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB

1[师]：若当t时，点P是什么？向量OP会怎样？

21[生]：点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)③

2[师]：所以把①和②都叫空间直线的向量表示式，也叫做空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．

[师]：结合推论的条件，请同学们思考，空间中的任意直线是由哪些因素确定的？

[生]：空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定。

[师]：共线向量定理及其推论有何应用？

[生]：与平面向量一样，可以判断空间任意三点共线。

3、共面向量：

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

[师]：根据定义，说明空间任意的两向量都是共面的，为什么？

[生]：因为总可以找到一个平面，使得这两个向量和平面平行

[师]：空间中任意三个向量是不是一定共面呢？什么情况下三个向量共面？

[生]：不一定，比如（自举例）。

4．共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb．

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①

上面①式叫做平面MAB的向量表达式．

[师]：这与平面向量基本定理类似，a，b叫做基底，请同学们完成P87的探究

前者与平面向量基本定理吻合，后者可结合图3.1-9 讲解（因为xa，yb与a，b共线，所以xa，yb都在a，b确定的平面内。又因为xa+yb是以|xa|，|yb|为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a，b确定的平面内，所以p=xa+yb在a，b确定的平面内，即p与a，b共面。）

[师]：共面向量定理和推论有何应用？

[生]：可以判断四点共面。

师生共同完成例1 补充：证明平面AC∥平面EG。（选讲）

∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，∴EF//AB,EG//AC

所以，平面AC//平面EG．

例2．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP12OA552OB5P与A,B,C是否一定共面？

OC，试判断：点解：由题意：5OPOA2OB2OC，

∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，

∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，

所以，点P与A,B,C共面．

推广：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OPxOAyOBzOC

（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

（仿照例2独立完成，写在练习本上或P88思考处，请一位同学上黑板板书）

解：∵OP(1zy)OAyOBzOC，

∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)，

∴APyABzAC，∴点P与点A,B,C共面．

注意：可作为结论来判断四点共面。

[师]：剩下时间请同学们完成P89 练习1、2、3 [师]：我们一起来小结本节课的内容：（师生共同完成）

1、共线向量、共线向量定理及其推论，以此来判断三点共线（与平面向量类似）

2、共面向量、共面向量定理及其推论，可判断空间四点共面。

布置作业：同步P96 练习二十六 反思：

3.1.3 空间向量的数量积运算（一）

师：这节课我们来学习空间向量的数量积运算（板书）请看本节课的学习目标。展示学习目标。

学习目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

师：目标明确的同学请举手。（老师根据情况进行下一步）。请看自学指导。（展示自学指导）

认真阅读书P90的内容，完成下列问题。（时间5分钟）

1、空间两个向量的夹角：已知两个_____a，b，在空间中任取一点O，作_________________，则_______叫做向量a与b的夹角，记作_______,且规定夹角范围为___________.若夹角为90°，则称a与b_________，记作_______；当非零向量同向时夹角为______,反向时夹角为______.零向量与其他向量之间不定义夹角，所以约定：零向量与任何向量都共线，即_______，在研究垂直时，也认为0⊥a. （空间向量的夹角特点：___________________ 2、两个向量的数量积：a·b=_______________________ 规定：零向量与任何向量的数量积为________ 3、空间向量数量积的运算律：

(a)b______________ 交换律：________________ 分配律：________________ 师：通过看书，同学们已经掌握了空间向量数量积的基本概念，请思考下面的问题。

问题1：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？

问题2：你能证明这些运算定律吗？（简要解释）

问题3：完成P90的思考。

（2）向量没有除法；（3）向量的数量积不满足结合律

师：请阅读P91的例1、例2（5分钟）

这两题都用向量法证明了三垂线定理和线面垂直的判断定理，主要用到了空间向量a⊥ba·b=0这个结论。

（在讲例1时，请同学们仿照例1证明三垂线的逆定理）

师：下面进行当堂训练。

同步P100.11、12 注意：在用向量方法解决几何问题时，可按下面的程序思考：

（1）如何把已知的几何条件转化为向量表示？

（2）未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示？

（3）如何对已经表示出来的向量进行运算？获得需要的结论？

师：布置作业

书P98.4 B组1 同步练习二十九P101 10、11、12 反思：

3.1.3 空间向量的数量积运算（二）

师：上节课我们学习了空间向量的数量积的概念，今天我们来运用数量积求向量的模和夹角问题。

类比平面向量，空间向量数量积的性质应用：（带领学生边回忆边写）

①abab0（用于判定垂直问题）

②|a|a2（用于求模运算问题）

③cosab（用于求角运算问题，）注意夹角范围

|a||b|投影：b在a方向上的投影是_______________________ a在b方向上的投影是_______________________ 师：下面我们来练习（例题讲练）

1、已知a2，b3，且a与b的夹角为，c3a2b，dmab，求2当m为何值时cd

2、已知a1，b1，3a2b3，则3ab

。

3、已知a和b是非零向量，且a=b=ab，求a与ab的夹角

师：请同学们完成书P92 练习1、2、3 （练习1求夹角，2、3求模长）

总结方法：1、先确定求什么？

2、用已知向量表示未知向量，代入计算

师：作业

1、书P98 3、5 2、同步 P99 练习二十八

反思：

3.1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

师：请同学们回忆平面向量如何坐标化？

生：利用正交分解，把平面中的任意一个向量分解成相互垂直的两个向量，放到直角坐标系中，可用平面向量基本定理表示成a=xi+yj=（x，y）就把向量坐标化了。

师：那对于空间向量是不是也一样呢？请看本节课的学习目标（出示目标）

学习目标：1、理解空间向量的基本定理，并了解基向量的概念；

2、了解空间向量形式与坐标形式的转化。

认真阅读书P92-94例1以上的内容，回答下列问题。（时间7分钟）

（带领学生简单的把空间向量的正交分解过程和空间向量基本定理过一下）

问题1：请用空间向量基本定理来正交分解得到向量的坐标形式。

问题2：空间向量的基底有什么要求？基底和基向量有什么区别？

问题3：单位正交基底有何要求？如何建立和画直角坐标系？

师生共同解决：问题1结合书P93 图3.1-15说明

问题2应明确以下几点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，任意向量都有无数组基底；②基底中的三个向量都是非零向量；③一个基底是由不共面的三个向量构成，一个基向量是指基底中的某一个向量。（完成练习1）

若把定理中的p、a、b、c分别用该向量的有向线段表示，就可以得到推论“设O、A、B、C是不共面的四点，则空间人一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使OP=xOA+yOB+zOC”

当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共线。（完成练习2）

问题3要知道单位正交基底是三个基向量相互垂直，且长都为1，常用{e1，e2，e3}表示。所以单位正交基间的数量积：e1e2e2e3e1e30，

e1e1e2e2e3e31

以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz。

画图时一般使用∠xOy=135°,∠yOz=90°。

讲解例4，先让学生试着做，在略讲，详看书。

师：下面我们当堂训练。

书P94 练习3 师：作业

同步练习二十七、练习二十九选择题

反思：

3.1.5 空间向量运算的坐标表示

师：今天我们来学习空间向量的坐标运算，与平面向量类似，只不过由二维变三维而已。请同学们快速阅读书P95的内容，然后我们来测试看谁记得又快又准。

则

a(a1，a2，a3) ,b（b1，b2，b3）a+b=____________________ ；a-b=_____________________ a____________________；a·b=____________________ a∥b___________________________________ a⊥b___________________________________ |a|=____________=____________________ cos=_________________=_______________________ 若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)

则AB=____________________ 特别地，A与原点O的向量OA=____________________ 空间中两点间距离公式dAB=|AB|=_______________________________ 快速完成P97练习1、2 师：将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决一些夹角和距

离的计算问题，而且可以在立体几何中运用并使问题变得简单，例如例4、例5。

请同学们认真分析这两道例题，思考：在运用空间向量解决几何问题时应注意什么？

生：注意选择垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，然后将向量正确坐标化，最后根据题意转化为向量间的夹角、模、垂直、平行问题。

完成练习3 师：布置作业

书P98 7、8、9、10、11 同步练习三十

反思：

习题课

师：今天这节课我们上习题课，主要熟练空间向量的运算，请同学们拿出同步，我们分题型来对应练习。

题型一、平行与垂直问题（复习相关概念或请同学回答）

例、已知A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,2）求满足下列条件的点D的坐标。

（1）DB∥AC，DC∥AB；（2）DB⊥AC，DC⊥AB，且AD=BC。

做同步练习三十一的2、3、7、9、11 练习三十二的1、2、3、6、7

题型二、夹角、距离问题

例、直三棱柱ABC-A’B’C’，AC=BC=1，∠BCA=90°，AA’=2,分别取A’B’、A’A的中点P、Q. （1）求BQ的模；（2）求cos,cos，并比较大小；

（3）求证：AB’

⊥C’P 做同步练习三十一的1、5、6、8 练习三十二的4、5、8、9、10、11

上课时间较紧，所以做不完的留做做业。练习三十一和三十二做完。

反思：