1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学内容概述

1.4.3含有一个量词的命题的否定 教学目标 1.知识与技能目标

（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定． 2．过程与方法目标

使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

3.情感态度价值观

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

教学重点与难点

教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教具准备 投影仪，多媒体课件等

课时安排 1课时

教学过程

一、引入新课：

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题.在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在. 【设计意图】创设问题情境，激发兴趣, 增强学生的求知欲望．

二、探究新知: 问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定. （1）所有的矩形都是平行四边形；

[来源:学.科.网]

（2）每一个素数都是奇数；

2（3）xR，x-2x+1≥0 分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)

2（3）xM,p(x)，否定：xR，x-2x+1<0；xM,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了特称命题. 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题P：

xM,p(x)

它的否定￢P

：xM,p(x)

例1写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有自然数的平方是正数；

（2）p：所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；

（3）p：每一个四边形的四个顶点共圆. 小练习

写出下列全称命题的否定：

（1）每条直线在y轴上都有截距；

（2）每个二次函数的图像都与x轴相交.

师生探究

问题2：写出命题的否定

（1）p：有些实数的绝对值是正数；

（2）p：某些平行四边形是菱形；

（3）p：xR,x210

分析：（1）所有实数的绝对值都不是正数；[来源:学,科,网]

（2）每一个平行四边形都不是菱形；

2（3） xR，x＋1〈0 【设计意图】引导学生分析实例，让学生从事例中抽象出数学知识，得出本节课所要学习的含有量词的命题的否定．

总结：P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

三、理解新知：

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立.存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为： xM,有P（x）不成立. 用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定.即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定

词语

词语的否定

词语

是

一定是

都是

大于

小于

且

不是

一定不都小于或等大于或不是

是

于

等于

或

必有至少至多所有x成所有x一个

有n个

有一个

立

不成立

词语一个至多至少存在一个存在有的否定

也没有

有n-1个

有两个

x不成立

一个成立

【设计意图】让学生从理论上掌握含有一个量词的命题的否定形式，并且学会写出含有量词的命题的否定的基本依据．

四、运用新知：

例2 写出下列特称命题的否定：

（1）p: 存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立；

（2）p: 有些三角形不是等腰三角形；

（3）p: 有一个素数含三个正因数. 练习

写出下列特称命题的否定. （1）存在一个三角形，它的内角和小于180o; （2）存在一个四边形没有外接圆.

例3写出下列命题的否定，并判断它们的真假；

（1）p：每一个正方形都是平行四边形；

（2）p：有些三角形的三条中线相等；

2（3）p: x0

∈R，x0+2x0+2=0.

例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性.

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

22（2）p：若x+x﹤2,则x-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；

22（4）p：已知a,b为实数，若x+ax+b≤0有非空实解集，则a-4b≥0. 解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y；

假命题[来源:学_科_网]

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

22（2） P：若x+x﹤2，则x-x≥2；真命题[来源:学|科|网]

22

否命题：若x+x≥2，则x-x≥2）；假命题.

（3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题.

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.假命题. 2（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a-4b﹤0.假命题. 2

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a-4b﹤0.真命题. 【设计意图】命题的否定与否命题是完全不同的概念.其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的. 2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假. 3．

原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为

“若┓p，则┓q”，

既否定条件又否定结论. 随堂练习：

21．命题p：存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）

2A.存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0无实根；

2B.不存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；

2C.对任意的实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；

2D.至多有一个实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；

2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（ ）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误

3．命题“xR，x-x+3>0”的否定是 4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的[来源:Zxxk.Com]

否定形式是 否命题是 5．写出下列命题的否定，并判断其真假：

2（1）p：m∈R，方程x+x-m=0必有实根； 2（2）q：R，使得x+x+1≤0； 6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

（1）若m>1，则方程x-2x+m=0有实数根．

（2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若ABC是锐角三角形，

则ABC的任何一个内角是锐角．

（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．

22

五、课堂小结：

教师提问：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？

学生作答：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

教师总结: 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P：

xM,p(x)

它的否定￢P xM,p(x)

特称命题P：

xM,p(x)

它的否定￢P：

x∈M，￢P(x) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定时既要否定量词，又要否定性质，所

以找出量词，明确命题所提供的性质是解题的关键.

【设计意图】归纳整理本节课所学知识．

六、布置作业：

1．

阅读课本P24—P25；

2．

必做题：课本26页

习题1.4 A组

第3题．

3．选做题：课本27页

习题1.4 B组（1）（2）（3）（4）．

【设计意图】设计作业必做题1，2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了让学生掌握含有量词的命题的否定怎么去写；选做题的安排，是让学生进一步熟悉含有量词的命题的否定形式，以及如何去判断真假，巩固所学知识．

七、教后反思: 在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力.来源

八、板书设计: 1．4．3

含有一个量词的命题的否定

1.

全称命题、存在性命题的否定．

P:M, p(x）否定为 P: M, 

P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M, 

P（x）

2.

关键量词的否定

例1

例2

例3

例4

练习：