1.1.3 四种命题间的相互关系公开课教学设计模版

第2课时：四种命题及其相互关系

1．知识与技能

了解四种命题的概念，并会判断命题的真假．

2．过程与方法

了解命题的逆命题，否命题、逆否命题，能写出原命题的其它三种命题．

能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假．

本节重点：了解命题的逆命题、否命题、逆否命题．

本节难点：分析四种命题的相互关系以及四种命题的真假之间的关系．

1．要通过实例去发现四种命题间的关系，并能用命题间的关系去验证写出的命题是否正确．

2．要注意否命题与命题的否定是不同的．

例如：原命题“若∠A＝∠B，则a＝b”的否命题是“若∠A≠∠B，则a≠b”，而原命题的否定是“若∠A＝∠B，则a≠b”．通过实例真正弄清一个命题的否命题与它的否定的本质区别：否命题是既否定条件又否定结论；命题的否定是只否定结论．

1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做

．

，其中一个命题叫做

，另一个叫做原命题的2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做

原命题的

．

，其中一个命题叫做

，另一个叫做3．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做

叫做原命题的

．

．

．

，其中一个命题叫做

，另一个4．原命题为真，它的逆命题

5．原命题为真，它的否命题

6．原命题为真，它的逆否命题

．

7．互为逆否的命题是等价命题，它们同

同

，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为

的命题，它们同

同

．

[例1]

写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．

1

(1)负数的平方是正数；

(2)正方形的四条边相等．

[分析]

此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．

[解析]

(1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．

(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．

逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．

逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．

[点评]

例1(1)题还有另一种解答：

原命题可以写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数．

逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方．

否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数．

逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方．

这两种解答都可以，实际上例1中的第(2)小题也有同样的另一种解答．

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为0. (2)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．

[解析]

(1)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0；

否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；

逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0.

(2)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；

否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数；

逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数. [例2]

判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)若a>b，则ac2>bc2；

(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；

2

(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点．

[解析]

(1)该命题为假，如c＝0时，ac2＝bc2. 逆命题：ac2>bc2，则a>b为真；

否命题：若a≤b，则ac2≤bc2为真；

逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b为假．

(2)该命题为真．

逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．

否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．

逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．

(3)该命题为假．

逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．

否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函数图象与x轴无公共点，为假．

逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共点，则b2－4ac≥0，为假．

[点评]

写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．在判断原命题及逆命题的真假时，常借助原命题与其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假进行判断．

[例3]

有下列四个命题：

(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；

(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；

(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；

(4)“对顶角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是

(

) A．0

B．1

C．2

D．3

[答案]

B [解析]

(1)“若x＋y≠0，则x、y不是相反数”是真命题．

(2)“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝－1，b＝0，因为ab2，故是假命题．

(3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3，不是不等式的解，故是假命题．

(4)“相等的角是对顶角”是假命题．故选B. 3

[点评]

本题的解法中运用了举反例的办法，如(2)、(3)的解法．举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到的方法．

判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．

[解析]解法一：写出逆否命题，再判断其真假．

原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根；

逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.

判断如下：因为x2＋x－a＝0无实根．

所以Δ＝1＋4a<0，所以a<－

<0. 所以“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．

解法二：利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证明．

在为a≥0，所以4a≥0，所以4a＋1>0，

所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，

所以方程x2＋x－a＝0有实根．

故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．

又因原命题与逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．

[例4]

写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．

(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根．

(2)若x、y都是奇数，则x＋y是奇数．

(3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0. [解析]

(1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题) 命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题) (2)否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是奇数．(假命题) 命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是奇数．(真命题) (3)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为0.(真命题) 命题的否定：若abc＝0，则a、b、c全不为0.(假命题) [点评]

命题的否定形式及否命题是两个不同的概念，要注意区别，不能混淆．从形式上看，否命题既否定条件，又否定结论，而命题的否定，条件不变，只否定结论. 一、选择题

1．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的

(

) 4

A．逆命题

B．否命题

C．逆否命题

[答案]

A

[解析]

依据逆命题定义．

2．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是

(

) A．上述四个命题

B．原命题与逆命题

D．逆命题与否命题

D．无关命题

C．原命题与逆否命题

[答案]

C

[解析]

∵命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，∴选C. 3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是

(

) A．能被3整除的整数，一定能被6整除

B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除

C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除

D．能被6整除的整数，一定不能被3整除

[答案]

B [解析]

9能被3整除，但不能被6整除，排除A；

9不能被6整除，但能被3整除，排除C；

12能被6整除，也能被3整除，排除D. 4．命题“若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题是“∠A≠60°，则△ABC不是等边三角形”为

(

) A．假命题

B．与原命题真假性相同

C．与原命题的逆否命题真假性相同

D．与原命题的逆命题真假性相同

[答案]

D

[解析]

否命题与逆命题是等价的．

二、填空题

5

5．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是____________________，是________命题．

[答案]

若a≠0且b≠0，则ab≠0；真

6．若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的________．

[答案]

逆命题

6