习题3.2教学设计实例

第8讲

立体几何中的向量方法——求空间角

最新考纲

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 知

识

梳

理

1.异面直线所成的角

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

范围

求法

a与b的夹角β

(0，π)

l1与l2所成的角θ

cos β＝a·b

|a||b|cos θ＝|cos β|＝|a·b|

|a||b|2.求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，

|a·n|则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝. |a||n|3.求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈→AB，→CD〉. (2)如图②③，n1，n2

分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，

二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). 诊

断

自

测

判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(

) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(

) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(

) ππ0，0，，二面角的范围是(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是22[0，π].(

) 答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

考点突破

考点一

利用空间向量求异面直线所成的角

例1. 已知直三棱柱

中，∠

，

，则异面直线

与

所成角的余弦值为

规律方法

(1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标|v1·v2|系；②求出两直线的方向向量v1，v2；③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解. |v1||v2|π(2)两异面直线所成角的范围是θ∈0，，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直2线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角. 考点二

利用空间向量求直线与平面所成的角

例2.已知三棱锥

，

平面 ，

，

，

，E、F分别是AC,BC的中点，P为线段BC上一点，且CP=2PB. （1）求证：

（2）求直线AC与平面DEF所成角的正弦值. 规律方法

利用向量法求线面角的方法：

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 考点三

利用空间向量求二面角

命题角度1 计算二面角的大小

例3-1.如图，在四棱锥P-ABCD中，

，且∠

∠

（1）证明：平面

平面

（2）若

，∠

，

求二面角A-PB-C的余弦值.

命题角度2 已知二面角的大小求值

例3-2.在如图所示几何体中，平面

平面 ，

四边形ABCD为菱形，ADNM是矩形，∠

，

，

，E是AB的中点. （1）求证：平面

平面 . （2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-D的大小为

？

若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由. 规律方法

利用向量计算二面角大小的常用方法：

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小. (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 易错警示

对于①：用线面垂直的判定定理易忽视面内两直线相交；

对于②：建立空间直角坐标系，若垂直关系不明确时，应先给出证明；

→→对于③：线面角θ的正弦sin θ＝|cos〈B1D，m〉|，易误认为cos θ＝|cos〈B1D，m〉|；

对于④：求出法向量夹角的余弦值后，不清楚二面角的余弦值取正值还是负值，确定二面角余弦值正负有两种方法：

1°通过观察二面角是锐角还是钝角来确定其余弦值的正负；

2°当不易观察二面角是锐角还是钝角时可判断两半平面的法向量与二面角的位

[思想方法] 1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系

(1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相

交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系. [易错防范] 1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角. 2.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|. 3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.

《立体几何中的向量方法——求空间角》说课稿

【导读】本节课内容选自我校高三一轮复习用书第八章第七节内容。

一、教材分析

1、在教材中的地位

立体几何的向量方法被安排在新课标《数学》选修2-1的第三章第二节，主要是讨论用空间向量处理立体几何问题。在此之前安排例空间向量的线性运算及坐标运算。立体几何中的向量方法既是前面内容的延展与深化，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何问题的新视角，为解决立体几何图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。同时它也体现新课标中提出的“注重提高学生的数学思维能力”的基本理念。

2、重点、难点分析

重点是向量的线性运算、数量积及向量的坐标运算，掌握立体几何问题中向量方法的运用过程。难点是在解题过程中知识之间的转化过程。

二、目标分析

1、学情分析

学生已经具备一定的空间想象能力和运算能力，但我校学生数学底子薄，数学思维能力欠缺，认知结构不太健全，学生会对向量和几何的综合运用产生畏惧，担心学不会、学不好。由此我对本节课的教学目标作如下分析。

2、教学目标：

（1）知识与技能目标：

掌握空间向量的线性运算、数量积和坐标运算，掌握方向向量和法向量的求法，掌握利用向量的夹角求空间角的方法及角之间的关系。

（2）过程与方法目标：

通过概念的理解和应用，可以提高学生感知和梳理知识的能力；由具体问题的解决到解题方法的总结，可以培养学生的探索、操作和归纳能力；用数学语言描述几何知识，可以提高学生的数学表达和交流能力，发展独立获取数学知识的能力。

（3）情感、态度与价值观目标：

通过本节的学习过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生良好的学习习惯和思维品质，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神，引导学生树立科学的世界观，提高学生的数学涵养和综合素质。

三、过程分析

本节课围绕四个基本认知环节，体现了以学生为主体，以学生主动学习为中心的思想。运用多媒体辅助教学，由浅入深，循序渐进实现本节教学目的。

（1）创设情景，引入课题

这个化解内容有四个方面：导语、复习、练习、思考，可以使学生产生一种强烈的探索和求知欲望，激发学生学习的兴趣。

（2）师生协作，理解概念

这一环节的主要内容首先是对前几节知识的梳理和巩固，涉及向量的线性运算及坐标运算、方向向量和法向量等基础概念。其次，引导学生深层次的理解概念。最后启发引导学生归纳总结规律，达到理解概念，突出重点，化解难点的目的。

（3）课堂会话，深化应用

这一环节主要有三个方面的应用：通过例1的一题多解比较几何方法与向量方法解题的优劣和解题步骤；通过例2强调向量方法解决空间角问题的解题思路；通过例3强调解题的细节问题。主要采用小组讨论，典型发言，教师点评的方法，放手让学生自己探究、总结，进一步突出重点和难点。三个例题，三个层面，完全引导学生自己分析解答，强调知识的内化。

（4）意义建构，形成评价

本环节包括三个内容：巩固练习、归纳小结和作业布置。小结归纳由学生自主完成，提高学生的归纳能力，作业部分为基础练习，巩固知识，铺垫下节。

四、教法分析

本课用发现、讨论、归纳等构建法进行教学活动，首先提出问题的方式引起学生的思考和讨论；在讨论中引起学生的思考和理解；然后启发诱导学生自己去发现方法和规律，自己去纠正和补充错误和片面的认识，达到学生自觉主动积极学习的目的。

五、评价分析

本节课中，通过几个教学环节，少讲多练。适当的点拨和充分的肯定让学生勇于探索、勤于思考，培养学生的创新精神，全面提高学生的综合能力，达到预期的目的。