习题4.1教学内容分析

4.1.2圆与方程（二）

湖南省永顺县第一中学 田涛

三维目标：

知识与技能

：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用

王新敞教

具：多媒体、实物投影仪

王新敞教学过程：

课题引入：

问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究：

请同学们写出圆的标准方程：

(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．

把圆的标准方程展开，并整理：

x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．

取D2a,E2b,Fa2b2r2得

x2y2DxEyF0

①

这个方程是圆的方程．

反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得

D2E2D2E24F(x)(y)

②

(配方过程由学生去完成)这个方程是不224是表示圆？

(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当D2E24F0时，表示以（--1E）为圆心,D2E24F为半径的圆；

2222（2）当DE4F0时，方程只有实数解xD，2DE，y，即只表示一个22点（-DE，-）; 2222（3）当DE4F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆 王新敞[来源:学。科。网Z。X。X。K]

王新敞只有当DE4F0时，它表示的曲线才是圆，222我们把形如x2y2DxEyF0的表示圆的方程称为圆的一般方程x1y24

王新敞我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．

②没有xy这样的二次项．[来源:Zxxk.Com]

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

知识应用与解题研究：

例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

14x24y24x12y90

2224x4y4x12y110学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于14x24y24x12y90来说，这里的

9D1,E3,F而不是D=-4,E=12,F=9. 4例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程

王新敞[来源:学科网]解：设所求的圆的方程为：x2y2DxEyF0

∵A(0,0),B(11，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，

F0即DEF20

4D2EF200解此方程组，可得：D8,E6,F0

王新敞∴所求圆的方程为：xy8x6y0

22王新敞r1DFD2E24F5；4,3

222王新敞得圆心坐标为（4，-3）. 或将xy8x6y0左边配方化为圆的标准方程，(x4)(y3)25,从而求出圆的半径r5，圆心坐标为(4,-3)

学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：

①、根据提议，选择标准方程或一般方程；

②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

2222王新敞2例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上x1y4运动，2求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程x12y24。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是3且M是线段AB的重点，所以x0,y0.由于点B的坐标是4，xx04y3,y0, ① 22于是有x02x4,y02y3因为点A在圆x1y24上运动，所以点A的坐标满足方程x1y24,2即x01y04222

x012y024 ②

把①代入②，得

33x-y2x412y34,整理，得1

22222233所以，点M的轨迹是以，为圆心，半径长为1的圆

22y64A2-5MB5O-2-4x

课堂练习：课堂练习p130第1、2、3题

小结

：

1．对方程x2y2DxEyF0的讨论(什么时候可以表示圆)

王新敞2．与标准方程的互化

3．用待定系数法求圆的方程

4．求与圆有关的点的轨迹。

王新敞王新敞课后作业：p130习题4.1第2、3、6题

教学反思：

本节课教学内容上主要是强调圆的一般方程的判别式,用其判断曲线是否是圆,应该同时指点学生将方程配方也可以.而这一点能很好的树立学生对立统一的辩证思维观点。