2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优质课教案

空间中直线与平面之间的位置关系

直线与平面的位置关系

1、直线和平面平行的定义

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。

2、直线与平面位置关系的分类

（1）直线与平面位置关系可归纳为

(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号a来表示a∥和aA这两种情形．

(3)直线与平面位置关系的图形画法：

①画直线a在平面内时，表示直线的直线段只能在表示平面的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；

②在画直线a与平面相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面a的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；

③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。

例1、下列命题中正确的命题的个数为

。

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。

变式1、下列说法中正确的是

。

①直线l平行于平面内无数条直线，则l//；

②若直线a在平面外，则a//;

③若直线a//b，直线b，则a//;

④若直线a//b，直线b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线。

变式2、下列命题中正确的个数是(

) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

A.0

B.1

C.2

D.3 分析：如图2,

图2

我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；

A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；

A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确；

l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B

变式3、

若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.

图3

解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5 用符号语言表示为：若a∩b=A,bα,则aα或a∩α=A.

变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6 用符号语言表示为：若a与b异面,aα,则b∥α或b∩α=A.

例3、若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是(

)

A.α内的所有直线与a异面

B.α内的直线与a都相交

C.α内存在唯一的直线与a平行

D.α内不存在与a平行的直线

分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交.

图7

例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D. 变式1、不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα,以下三个命题：

①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.

其中真命题是_____________. 分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，

图8 其中真命题是①. 变式2、若直线aα,则下列结论中成立的个数是(

) (1)α内的所有直线与a异面

(2)α内的直线与a都相交

(3)α内存在唯一的直线与a平行

(4)α内不存在与a平行的直线

A.0

B.1

C.2

D.3 分析：∵直线aα,∴a∥α或a∩α=A.

如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.

图9 答案：A.

空间中直线与平面之间的位置关系

一、选择题

1．直线l与平面α不平行，则(

) A．l与α相交

B．l⊂α

C．l与α相交或l⊂α

D．以上结论都不对

【解析】

若l与α不平行，则l与α相交或l⊂α.

【答案】

C 2．直线a在平面γ外，则(

) A．a∥γ

B．a与γ至少有一个公共点

C．a∩γ＝A D．a与γ至多有一个公共点

【解析】

直线a在平面γ外，其包括直线a与平面r相交或平行两层含义，故a与r至多有一个公共点．

【答案】

D 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(

) A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

【解析】

如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D. 【答案】

B 4．下列说法中正确的是(

) A．如果两个平面α、β只有一条公共直线a，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝a B．两平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于过A点的任意一条直线

C．两平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于A点，并记作α∩β＝A D．两平面ABC与DBC相交于线段BC 【解析】

B不正确，若A∈α∩β，则α，β相交于过A点的一条直线；同理C不正确；D不正确，两个平面相交，其交线为直线而非线段．

【答案】

A 5．如果空间的三个平面两两相交，那么(

) A．不可能只有两条交线

B．必相交于一点

C．必相交于一条直线

D．必相交于三条平行线

【解析】

空间三个平面两两相交，可能相交于一点，也可能相交于一条直线，还可能相交于三条平行线，故选A. 【答案】

A 二、填空题

6．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a与平面β的位置关系为________．

【解析】

∵α∥β，∴α与β无公共点，

∵a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.

【答案】

a∥β

7．过平面外两点作该平面的平行平面，可以作平面的个数是________．

【解析】

当这两点的连线不与平面平行时，过这两点不存在与已知平面平行的平面．当这两点的连线与已知平面平行时，能作一个平面与已知平面平行，故填0或1. 【答案】

0或1 8．(2012·银川高一评估)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

【解析】

如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.

【答案】

6 三、解答题

9．已知直线l∩平面α＝A，直线m⊂α，画图表示直线l和m的位置关系．

【解】

直线l和m的位置关系有异面和相交两种情况，l和m异面，如图a所示；l和m相交，如图b所示．

10．如图2－1－20，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．

图2－1－20 【解】

由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，

由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，

∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．

又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点．

又a⊂α，

∴a与β无公共点，

∴a∥β.

11．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？

【解】

三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．

12、已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P.

求证：a与β相交,b与α相交. 证明：如图10,∵a∩b=P,

图10 ∴P∈a,P∈b.

又bβ,∴P∈β.

∴a与β有公共点P,即a与β相交. 同理可证,b与α相交.

13、过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？

解：(1)如图11,C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.如图12,

图11

图12

图13