一、圆锥曲线的光学性质及其应用优秀公开课教案

圆锥曲线的光学性质及其应用

一、情景设置

现有一个椭圆形的球桌，在椭圆焦点及中心处各放置一台球（如下图所示），现一选手欲击打白球撞击黑球，但不能碰到红球，他该如何做？

问题1：椭圆的上下顶点满足题意，为什么？

设计意图：提示学生通过寻找法线，问题转化为证明焦半径与法线夹角相等即可. 此时可借助三角形全等证明对应角相等.为问题3作好铺垫. 问题2：除椭圆的上下顶点外，还存在其它点吗？（换言之，若要白球反射后碰到黑球，则需要满足怎样的条件？）

设计意图：通过几何画板演示，发现除上下顶点的其它点也满足题意，从而大胆猜想，无论白球往哪一个方向击打，最终都能够撞到黑球. 问题3：事实背后有怎样的数学或物理原理作支撑？

设计意图：击打——碰撞——弹回，实质上是一个入射反射的过程，根据物理学的反射定律，入射角恒等于反射角.引导学生寻找问题对应的入射角，如果反射路径经过另一个焦点，则必有焦半径与法线所成角相等（即反射角等于入射角），通过几何画板角的度量，形成性质猜想.

二、猜想与证明

性质猜想：如图，F1、F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，过点P作椭圆的切线AB，则有APF1BPF2.

探究证明：四人一组进行讨论，形成可行方案，推选代表发言.同时思考以下问题：

问题1：你准备如何证明该几何结论？

设计意图：引导学生通过建系，将几何问题转化为代数问题

问题2：如何得出切线AB的斜率？方法唯一吗？

设计意图：求导是一个好方法，首选；用割线斜率逼近切线斜率，亦可，但涉及到极限问题，

学生未必想得到；待定系数后用判别式法，计算量很大，不推荐使用. 问题3：问题中的角是切线与焦半径的夹角，你准备怎样去计算该角？我们学过哪些计算角的工具？

设计意图：引导学生通过正切函数来计算角，其中涉及到“到角公式”的应用. 若学生想通过余弦定理（或向量数量积）来计算角，计算量巨大，不予以推荐. 证法1：求导得出切线AB的斜率，利用到角公式证明tanAPF1tanBPF2

x2y2b22b22222设椭圆方程为221，则yb2x，即yb2x. abaab221先考虑上半椭圆，即yb2x，则y'a221b22b2xa22b2b2x(x)2. aayb2xb2x同理可得下半椭圆的导函数为y'2.综上，椭圆上某点处的导函数为y'2. ayay设P(x0,y0)，则kABy0b2x0，

2.又因为kPF1x0cay022a2y0b2x0b2cx0

222ax0y0acy0bx0y0故tanAPF1kPF1kAB1kPF1kAB由于a2y0b2x0a2b2，a2x0y0b2x0y0c2x0y0，

故tanAPF1kPF1kAB1kPF1kAB22a2y0b2x0b2cx0a2b2b2cx0b2

22222ax0y0acy0bx0y0acy0cx0y0cy0b2同理可证，tanBPF，故tanAPF1，BPF2

1tanBPF2，又因为APF2cy0(0,)，因而APF1BPF2.（当斜率不存在时，命题依然成立，证明略.）

2注：实际上，求导这里可简化，利用链式法则，方程两边同时对x求导，可得

x2y22x2yb2x(22)x'(1)x'22yx'0yx'2. ababay证法2：借助向量法去证明这两个角的余弦值相等. b2x0|m|m，F1P(x0c,y0)，F2P(x0c,y0)设切线AB的方向向量为m(1,2)，ay0

b2x0c2c2c2|x0c2||2x0c|d212|mF1M|caaaa则cosAPF

1mF1MmF1MmF1MmF1MmF1Mald1其中d1是M到左准线的距离，同理可证cosBPF2又因为APF1，BPF2(0,c，所以cosAPF1cosBPF2

al2)，因而APF1BPF2. 证法3：几何证明. 如右图所示，由于椭圆外的点到椭圆的距离大于2a，

椭圆上的点到椭圆的距离等于2a，因此切线AB上

各点只有切点P到两焦点的距离之和最小. 作F2关于切线AB的对称点F2'，连结F1F2'交切线

AB于点P'，则P'到两焦点的距离之和最小. 由于切线AB上到两焦点距离之和最小的点是唯一的，因此P与P'重合，所以APF1BPF2'BPF2. 学生中可能出现的思路与证法：

x2y2证法1：若P(x0,y0）为椭圆221上的一点，则点P处的切线方程为

abxx0yy0b2x021，点P处的切线斜率为k2.

a2bay0证法2：联立椭圆与直线方程（点斜式），用0处理相切问题. 证法3：

三、类比与归纳

从上面的讨论中，我们得到了椭圆的光学性质，类比一下，双曲线及抛物线中有类似的性质吗？

性质1

从椭圆的一个焦点发出的光学，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点. 性质2

从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点. 性质3

从抛物线的焦点发出的光学，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.

四、生活中的应用

应用1：椭圆光学性质的应用

椭圆这一光学性质应用得非常广泛.如电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是椭圆绕其长轴旋转而成的曲面（椭球面），为了使片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝与影片门应分别位于椭圆的两个焦点处. 椭球面的这一性质还被应用于一种称为碎石机的现代医疗仪器上，运用高能冲击波击碎肾结石，经过准确的测量，将病人的结石置于一个焦点处，而高频冲击波从另一个焦点射出，经反射的冲击波可击碎焦点处的结石.用此项医疗技术治疗只需3~4天的恢复时间，而普通外科手术治疗约需2~3周.更值得一提的是，其治疗中的死亡率仅为0.01%，而传统外科手术约为2%~3%. 椭球面的这一性质还被运用于军事领域.航空母舰在搜索水下潜艇时可用其对潜艇进行搜索定位，方法是安装声納系统. 应用2：双曲线光学性质的应用

我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用双曲线的光学性质.原来使用的新闻灯个头比较大，外号叫“大头灯”，这种灯要在很近的距离才能照清楚，而且灯光很刺眼.而我国研制的“双曲线电瓶新闻灯”个头小，却可以照的很远，光线又柔和.1972年美国总统访问我国时，我们记者首次使用了这种灯，效果很好. 再如轴截面是双曲线的反射镜对提高室内照相的效果就很有帮助.由于自然光线不足，常常需要借助闪光灯或其他照明工具.为了把被摄影对象照得更亮，摄影师总想把灯尽可能放近一些.但是，一般自然光线接近平行光学，因而均匀柔和，而灯光则是中心摄影式的，灯放得越近，光线的反射效果就越明显.为了既获得足够的亮度，又使光线尽可能地均匀柔和，专门为摄影师设计的照明灯就往往利用双曲线的光学性质，把反射镜的表面做成双叶旋转双曲面的形状，并让灯丝恰好位于焦点. 应用3：抛物线光学性质的应用

抛物线也有类似的光学性质.平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点”名称的来源.运用抛物线的这一性质，人们设计了一种将水和食物加热的太阳灶.反过来，从焦点发出的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出，运用这一性质，人们制造了探照灯. 在手电筒的小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是抛物面，把小灯泡装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，当灯泡调节到焦点位置时，就能射出一束比较强的平行光线.又如，汽车前灯中的远光灯，近光灯，也是根据这个原理设计的.只是汽车前灯中的近光灯的光源不在焦点上，所以发出的光经抛物面反射后不是平行的，而是发散的，所以照的比较近.

卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的.把接收器放置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线最大限度地集中到接收器上，以保证接收效果.

最常见的太阳能热水器也是以抛物面聚焦太阳光加热焦点处的贮水器的.

椭球聚光灯

工作原理

体外碎石机

冲击波聚焦实验原理

在水下由椭球面的一个几何焦点F1处放电释放的能量，以球面冲击波形式外向传播.该球面波的一部分遇到反射面后形成的反射波的收敛段，趋向第二几何焦点F2附近形成焦区，置于焦区内的结石经多次冲击波轰击后被击碎.（反射面为椭球面的一个对称的片段，实用机型往往采用半个旋转椭圆面）

电瓶新闻灯

太阳灶

太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量，进行炊事烹饪食物的一种装置.它不烧任何燃料；没有任何污染；正常使用时比蜂窝煤炉还要快；和煤气灶速度一致.

探照灯

五、高考中的应用

x2y2（2013年山东高考理22）椭圆C：221（ab0）的左、右焦点分别是F1，F2，ab离心率为2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. 2x2y21）

（1）求椭圆C的方程；

（答案：4（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于M(m,0)，求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k0，试证明值.

11为定值，并求出这个定kk1kk2b2x0解析：设P(x0,y0)，则点P处的切线斜率为k2，由椭圆的光学性质可知，F1PF2ay0的角平分线PM垂直于点P处的切线l，即kkPM1kPMa2y02. bx0b2a2y0则直线PM的方程为yy02(xx0)，令y0，则xmx0(12)

abx033由于x0(2,2)，故m(,). 22

而k1y0y0112x0，k2，故，则

x0cx0ck1k2y0a2y02x0111112a2()228

kk1kk2kk1k2bx0y0b