3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案范文

教学设计：直线的倾斜角与斜率

一、教学目标

知识与技能：

理解直线的倾斜角和斜率的概念；推导并掌握过两点的直线斜率公式，并能简单的应用。 过程与方法：

培养学生对数学知识的理解和应用能力，使学生了解数形结合、分类讨论的数学思想方法. 情感态度与价值观：

通过本节课的学习，让学生体验用代数方法刻画直线斜率的过程，通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维。 二、教学重点与难点

重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；

2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式,并能简单的应用。

难点：用代数方法推导斜率的过程。

三、教学方法

计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

四、教学过程

（一）创设情境，揭示课题

问题1、意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建筑的范本，这就是堪称世界建筑奇迹“斜而不倒”的比萨斜塔。那么经过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜程度又是如何呢？如果将比萨斜塔抽象成一条直线并放在直角坐标系中，我们怎样描述直线的倾斜程度呢？

问题2、如果将比萨斜塔抽象成一条直线l并放在直角坐标系中，它的位置由哪些条件确定呢？

设计意图：明确研究对象：探索确定直线位置的几何要素。

问题3、直线满足哪些条件？可以唯一确定一条直线，用什么量来刻画直线的倾斜程度？

（估计不少学生能意识到需要有一个角）

设计意图：引导学生从倾斜程度不同方面研究过定点的不同直线，从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。

- 1 -

由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式

（1）已知直线上两点

（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度

（3）角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）

以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。

数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）

1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。

练习：通过ppt中四个图形形成的角是不是倾斜角？

学生容易忽略与x轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？

如何规定？

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

思考：直线倾斜角的范围？

通过几何画板的直观感受，自然得出倾斜角的范围是[0，180）

设计意图：这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

（二）巩固旧知，同化新知

问题4、生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，还有没有表示倾斜程度的量？ 展示图片（水滑梯、娃娃梯等）

yoplxyolyopyxlppxolx(1) (2) (3)(4)- 2 -

设计意图：给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定。

坡度（比）=

升高量

前进量

（即坡角的正切值）

当坡角增大时，坡度如何变化？这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？

设计意图：从学生的现状出发，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率，自然引出斜率。

2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即ktan(90)

问题5、倾斜角为300、450、600、900、1200、1350、1500的直线，他们的斜率分别是多少？

问题6、当在[0，180）内变化时，斜率k如何变化？你会得出什么结论？

yoplxypolyopyxxpolxl0°＜＜90°= 90°90°＜＜180°= 0°k=0k >0k不存在k<0

设计意图：先通过几何画板的直观感受，有利于调动学生学习的积极性，加深对两者关系理解，通过用几何画板演示倾斜角与斜率之间关系，给学生直观认识，降低学习的难度，让学生很容易得出结论。

问题7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？

设计意图：比较刻画直线倾斜程度的两个几何量，体现那一个量更常用，

倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。

练习：判断正误

①

直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα

（

）

②

直线的斜率的范围是错误！未找到引用源。

（

）

③

任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有斜率.

（

）

④

直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大

（

）

⑤

两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等

（

）

- 3 -

设计意图：进一步理解和掌握直线倾斜程度的两个几何量。

（三）尝试推导，深化认识

两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。

问题8、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1  x2，能否用P1

、P2的坐标来表示直线斜率k？

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1

、P2及直线P1 P2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

yP2（x2，y2）Q （x2，y1）yP2（x2，y2）P1（x1，y1）αQ （x2，y1）OyP1（x1，y1）P2（x2，y2）αxxαP1（x1，y1）OxyP1（x1，y1）Q （x1，y2）αP2（x2，y2）OxQ （x1，y2）O

解：设直线P1

P2倾斜角为（90）当直线P1

P2方向向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，y1y2

在RtP1P2Q中，tantanQP1P2QP2P1Qy2y1

x2x1（2）当为钝角时，180（设QP，x1x2，y1y2

1P2=）tan=tan(180)tan

在RtP1P2Q中，tanQP2QP1y2y1yy1

2x2x1x2x1tany2y1（让学生到黑板推导）

x2x1yy1y2y1，即k2

x2x1x2x1同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tan- 4 -

思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？

2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？

3、斜率公式使用时应注意什么问题？

（四）合作探究，提升能力

典例： 如图

，已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

探究：

已知坐标平面内三点A(1,1),B(1,1),C(2,31).

(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角； （2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率的变化范围。

设计意图：为了及时巩固，帮助学生对所学概念的理解，本过程设计了两道题，以达到巩固新知识的目的。

（五）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）

1、明确了确定直线位置的几何要素。

2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）

3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想. 设计意图：反思小结，概括提炼，是为了体现师生平等,更突出教师主导,学生主体的地位,既有利于训练学生概括归纳知识的能力，又能使学生在归纳中把学知识系统化、条理化。

（六）演练提高

作业：P89习题3.1A组：

3、4、5。

设计意图：练习题由浅入深,螺旋上升，将逐步提高学生的思维能力

(七)板书设计

直线的倾斜角与斜率

1、倾斜角的定义

3、两点P1（x1，y1），

（学生展示推导斜范围[0，180）

P2（x2，y2）且x1  x2，

2、直线的斜率

的斜率公式

率公式的图形）

ktan（90）

为钝角时，

ktantan(180)tan

yyktanxx2211- 5 -