1.1.2 四种命题含PPT的教学设计及点评

2018年暑季课程苏教版高三数学

第2讲：《命题及其关系、充分条件与必要条件》教案

一、教学目标

1.理解四种命题的概念，即命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

二、知识梳理

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是

原命题：若p则q(p⇒q)；

逆命题：若q则p(q⇒p)；

否命题：若p则q(p⇒q)；

逆否命题：若q则p(q⇒p)．

(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假性

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．

三、题型突破

题型一

四种命题及其相互关系

例1

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．

[来源:Z§xx§k.Com]

变式迁移1

有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

题型二

充要条件的判断

例2

给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．

(x－2)(x－3)＝0. (1)p：x－2＝0；q：(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．

(3)p：m<－2；q：方程x－x－m＝0无实根．

(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．

变式迁移2

下列各小题中，p是q的充要条件的是________．(填序号) ①p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；

2f(x)1;q:yf(x)是偶函数；

f(x)α＝tan β；

③p：cos

α＝cos

β；q：tan B＝A；q：∁UB⊆∁UA. ④p：A∩②p:

题型三

充要条件的证明

例3

设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x＋2ax＋b＝0与x＋2cx－b＝0有公共根的充要条件是∠A＝90. 2222

0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 变式迁移3

已知ab≠

四、针对训练[来源:Zxxk.Com]

一、填空题(每小题6分，共48分) 1．给出以下四个命题：

ABC中，若sin A＝sin B，则①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am>bm；③在△A＝B；④在一元二次方程ax＋bx＋c＝0中，若b－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)

2．对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“a＝b是“ac＝bc的充分且必要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分且必要条件；③“a>b是“a|>|b|的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的个数为________．

3．

“22221＋2kπ（k∈Z)是cos

2α＝”的______________条件．

62

224．关于命题“若抛物线y＝ax＋bx＋c的开口向下，则{x|ax＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为________．

{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的__________条件．

5．集合A＝

[来源:Z.xx.k.Com]6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________条件．

7．已知p：(x－1)(y－2)＝0，q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则p是q的

____________条件．

8．已知p(x)如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．

：x2＋2x－m>0，

二、解答题(共42分) 9．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

(1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；

(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；

(3)若x2＋y2＝0，则x、y全为零．

22210．(14分)设p：实数x满足x－4ax＋3a<0，其中a<0；q：实数x满足x－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

n11．(16分)已知数列{an}的前n项和Sn＝p＋q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要1. 条件为q＝－

【参考答案】

【例1】解题导引

给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．

解

(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．

(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．

逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．

【变式迁移1】

答案

①③

解析

①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；

④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．

【例2】解

(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；

而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0. ∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；

但两个三角形全等⇒两个三角形相似．

∴p是q的必要不充分条件．

(3)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；

方程x2－x－m＝0无实根m<－2. ∴p是q的充分不必要条件．

(4)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；

而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp. ∴p是q的充分不必要条件．

【变式迁移2】

答案

①④

解析

①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4(m＋3)>0⇔q：m<－2或m>6⇔p；②π当f(x)＝0时，由qp；③若α，β＝kπ＋(k∈Z)时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p：A∩B2＝A⇔p：A⊆B⇔q：∁UA⊇∁UB.故①④符合题意．

【例3】解题导引

有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．

证明

(1)必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，

222则x20＋2ax0＋b＝0，x0＋2cx0－b＝0，

b22两式相减可得x0＝，将此式代入x20＋2ax0＋b＝0，

c－a可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，

(2)充分性：∵∠A＝90°，

22222∴b＋c＝a，b＝a－c2.①

将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，

可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，

即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，

可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故两方程有公共根x＝－(a＋c)．

所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

【变式迁移3】

证明

(1)必要性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0. ∴a3＋b3＋ab－a2－b2

＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2) ＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. (2)充分性：

∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 又ab≠0，∴a≠0且b≠0. b3∵a2－ab＋b2＝(a－)2＋b2>0. 24∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

四、针对训练

1．答案

③

解析

对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．

2．答案

2 解析

②④正确；对于①，“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件；对于③，“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件．

3．

答案

充分不必要

π1解析

由α＝＋2kπ(k∈Z)可得到cos 2α＝.

621π由cos 2α＝得2α＝2kπ±(k∈Z)．

23π∴α＝kπ±(k∈Z)．

61π所以cos 2α＝不一定得到α＝＋2kπ(k∈Z)．

26

4．答案

1 解析

对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．

5．答案

必要不充分

解析

A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4，a>4a>5，但a>5⇒a>4.

6．答案

充要

7．答案

必要不充分

解析

由(x－1)(y－2)＝0得x＝1或y＝2，由(x－1)2＋(y－2)2

＝0得x＝1且y＝2，所

[来源:Z&xx&k.Com]

以由q能推出p，由p推不出q, 所以填必要不充分条件．

8．答案

[3,8) 解析

因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，

解得m≥3；又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，

解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.

9．解

(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，为假命题．

否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．

逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．(4分) (2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．

否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．

逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．(8分) (3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．

否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．

逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．(12分)

10．解

设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0} ＝{x|3a0} ＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0} ＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2} ＝{x|x<－4或x≥－2}．(8分) ∵·p是·q的必要不充分条件，

∴·q⇒·p，且·p·q.则{x|·q}{x|·p}，

而{x|·q}＝∁RB＝{x|－4≤x<－2}，

{x|·p}＝∁RA＝{x|x≤3a或x≥a，a<0}，

∴{x|－4≤x<－2}Ø{x|x≤3a或x≥a，a<0}，

3a≥－2，a≤－4，则或(13分) a<0a<0.2综上，可得－≤a<0或a≤－4.(14分) 3

11．证明

充分性：当q＝－1时，

a1＝S1＝p＋q＝p－1.(2分) －当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－1)．

当n＝1时成立．(5分) an＋1pnp－1于是＝＝p(n∈N＋)，

anpn－1p－1即数列{an}为等比数列．(7分) 必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q. －当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn1(p－1)．

∵p≠0，p≠1，

an＋1pnp－1∴＝＝p.(13分) anpn－1p－1∵{an}为等比数列，

pp－1a2an＋1∴＝＝p，＝p，

a1anp＋q即p－1＝p＋q.∴q＝－1.(15分) 综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．(16分)

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