3.1.1 空间向量及其加减运算教案设计范例

选修2--1

3.1.1空间向量及其加减运算

3.1.2空间向量的数乘运算

授课

时间

课型

新授课

执教人

学习

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

目标

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的几何中的问题．

重点

学

习

过

程

与

方

法

1.

空间向量加减法、数乘运算的灵活应用；

2.

用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题

(一)

复习：

复***面向量基本概念：

1.具有

和

的量叫向量，

叫向量的模（或长度）；

2.

叫零向量，记着

；

3.

叫单位向量；

4.

叫相反向量，

a的相反向量记着

；

5.

叫相等向量.

6.向量的表示方法有

.

复***面向量有加减运算、数乘运算：

1. 向量的加法和减法的运算法则有

.

2. 实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个

量，记作

，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝

.

(2)当λ＞0时，λa与A.

；当λ＜0时，λa与A.

；当λ＝0时，λa＝

.

3.运算律

加法交换律：

加法结合律：

数乘分配律：

（二）新课讲解：

用类比形式对比给出空间向量的相关定义

1.在

，我们把

，叫做空间向量.___________叫做向量的长度或模. 2.与平面向量一样，空间向量也用

表示. 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

如右图，此向量的起点是A，终点是B，可记作

，

也可记作

.其模长记为__________或

. 3.

叫做零向量，记为

, 零向量的方向是

.当有向线段的起点A与终点B

时，AB0

4.

的向量称为单位向量. 5.与向量a

的向量，称为a的相反向量，记为-a. 6.

的向量称为相等的向量. 因此，在空间，

的有向线段表示

7. 或

.

学

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3.1.2空间向量的数乘运算

习

过

程

与

方

法

OB=

=

,

AB=

=

. A1A2A2A3A3A4An1An

. 推广: 8.空间向交换律：

;

.你能尝试利用图形来进行说明吗? 9.(实数λ与a的积仍然是一个向量，记作

,称为向量的数乘.长度与方向规定为：

(1)长度是

.

(2)方向：当λ>0时，

；当λ<0时，

;当λ=0时，

. 空间向量的数乘运算满足分配律与结合律.

分配律：

. 结合律：

. 10.(1)共线向量或平行向量:表示空间向量的有向线段所在的直线________或_______的向量. (2)共线向量定理:对空间任意a、b(b≠0),

a∥b的充要条件是存在实数λ,使_________. (3)方向向量:ι为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,对空间任意一点O,点P在直线ι上的充要条件是存在实数t使____________.其中向量a叫做直线ι的方向向量.

思考探究: 1.当我们说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在直线一定是同一条直线吗? 2.怎样判定向量b与非零向量a是否共线?

11.(1)共面向量:平行于__________平面的向量. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在__________的有序实数对(x,y)，使________. 推论:空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（x,y）,使得

APxAByAC;或对于空间任意一点O,有OPOAxAByAC.

思考探究: 1.空间的两非零向量共面,能否推出a=λb（λ∈R）? 2.已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,满足向量关系式OPxOAyOBzOC(其中x+y+z=1)的点P与A,B,C是否共面?

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过

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与

方

法

⑵

已知平行六面体ABCD－ABCD,化简下列向量表达式，标出化简结果的向量. ①ABBCAA； ②

ABADAA；

③ABAD（三）．典例分析

例1.

⑴

花简:

ABCDBC

.

APMNNP

. EFOFOE

. 11CC； ④

(ABADAA)

23思考:三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?

DEDD'xDAyDC，求x,y. ⑶

若E是上底面A′B′C′D′的中心

，且

⑷已知平行六面体ABCD-ABCD1 , 若 , 求x . ACADxAC

⑸

若

2

AD





BD





xAC

，求x.

变式：在空间四边形ABCD中，连结AC、BD，△BCD的重心为G，

①

AGxBAyBDzBC求x、y、z.

②

求证：

AG



(

AB



AC

)

.



AD3

例2：

设e1、e2是平面上不共线的向量，已知AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2，若Ａ、Ｂ、Ｄ三点共线，求k的值。

例２：

已知Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ为空间9个点（如图），并且

Ｏ

1OEkOA,OFkOB,OHkOD,ACADmAB,EGEHmEF.

求证：①Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共面

②AC∥EG ③OGkOC

Ｄ

Ａ

Ｈ

Ｃ

Ｂ

Ｇ

Ｅ

Ｆ

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3.1.2空间向量的数乘运算

（四）当堂检测

1. 下列说法中正确的是（

）

A. 若∣a∣=∣b∣，则a，b的长度相同，方向相反或相同; B. 若a与b是相反向量，则∣a∣=∣b∣; C. 空间向量的减法满足结合律; D. 在四边形ABCD中，一定有ABADAC. 2. 长方体ABCDA'B'C'D'中，化简AA'A'B'A'D'=

3. 已知向量a，b是两个非零向量，a0,b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（

）

A. a0b0

B. a0b0或a0b0

C. a01

D. ∣a0∣=∣b0∣

4. 在四边形ABCD中，若ACABAD,则四边形是（

）

A. 矩形

B. 菱形

C. 正方形

D. 平行四边形

5. 下列说法正确的是（

）

A. 零向量没有方向

B. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

C. 空间向量不可以平行移动

D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

6.给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；

②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；

③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=A1C1; ④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

⑤空间中任意两个单位向量必相等．

其中假命题的个数是(

) A．1 B．2 C．3 D．4

7.已知点Ｍ在平面ＡＢＣ内，并且对于空间任一一点Ｏ，OMxOAOBOC，

则x的值为（

）Ａ. 1

Ｂ. 0

Ｃ. 3

Ｄ. 13131

38.若对于空间任意一点Ｏ和不共线的三点Ａ、Ｂ、Ｃ，OPxOAyOBzOC(xyz1)是四点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ共面的（

）

Ａ.必要不充分条件

Ｂ.充分不必要条件

Ｃ.充要条件

Ｄ.既不充分也不必要条件

9.在平行六面体ABCDA1BC11D1中，Ｍ为ＡＣ与ＢＤ的交点，若A1B1a，

A1D1b,A1Ac，则下列向量中与B1M相等的是（

）

Ａ.111111111abc

Ｂ.abc

Ｃ.abc

Ｄ.abc

22222222222CB,CGCD。求证：四边形ＡＢＣＤ是梯形。

33３、已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形，Ｅ、Ｆ分别是边ＡＢ，ＡＤ的中点，Ｆ，Ｇ分别是边ＣＢ，ＣＤ上的点，且CF

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