3.1.1 变化率问题教学设计

沧源民族中学

高二年级

数学

教学设计

2018年3月8日

第一章 导数及其应用

1.1.1 变化率问题

课时安排（2课时）

第二次备课教师：杨宝贵

一、内容及其解析

本节课的内容是变化率问题，它是导数的基础，也是是微积分引入基础，是函数的重要概念之一。它为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，是研究函数增减、变化快、慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度等实际问题的最有力的工具。

二、目标及其解析

1、目标定位; 通过两个例子的学***均变化率

2、目标解析：

f(x2)f(x1)问题中的变化率可用式子

表示, 称为函数x2x1f(x)从x1到x2的平均变化率 三、问题诊断分析

在本节知识的学习过程中，学生可能对生活现象和物理问题如何作出合理的数学阐释，概括抽象函数的平均变化率，逼近思想下的瞬时变化率的理解上存在问题

。因此若能让学生主动参与到平均变化率学习过程中，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，就会激发学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心。

方法采用由特殊到一般、具体到抽象、实际问题到数学问题。

四、教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，可以借助计算机辅助教学，增加课堂上知识之间的交互性，用气球做试验，提高学生的兴趣和课堂效率．

五、教学过程设计

例子1：气球膨胀率问题：

设计意图：从平均膨胀率抽象出平均变化率，引出平均变化率的概念。

阅读教材结合实际经验回答下列问题

1、气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数h 关系是__________ . 2、如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________. 3、当V从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________. o

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t

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4、当V从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________. 总结：可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? ___________.

例子2：高台跳水问题：

设计意图：体会平均速度可以描述运动员某段时间内运动的快慢，但不能表示运动员的运动状态，激发学生的求知欲，自然的引出瞬时速度的概念。

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？

水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）的函数关系为 . 问题1:如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度. 思考计算：0t0.5和1t2的平均速度v

在0t0.5这段时间里，v=___________；在1t2这段时间里，v=___________. 问题:如何理解平均变化率的概念？

1、上述问题中的变化率可用式子

x2的平均变化率

2、若设xx2x1, ff(x2)f(x1) (这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) yf___________. xx思考：观察函数f(x)的图象

f(x2)f(x1)表示, 称为函数f(x)从x1到x2x1则平均变化率为y f(x2) y=f(x) 平均变化率ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1（1）

一起讨论、分析，得出结果；

（2）

计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率f(x2)f(x1)f. xx2x1△y =f(x2)-f(x1) f(x1) O △x= x2-x1

x1 x2 x 注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相

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乘；

②x2= x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；

65探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

491、运动员在这段时间内使静止的吗？

2、你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，6565h()h(0)，所以___________.虽然运动员在0t这段时间里的平均速度4949为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，说明用平均速度不

小结：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；

例题分析

例1、已知函数f(x)=xx的图象上的一点A(1,2)及临近一点2B(1x,2y),则y

．

x解：

变式训练：求yx2在xx0附近的平均变化率。

解：

六、目标检测

1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx(

) A．大于零

B．小于零

C．等于零 [答案] D [解析] Δx可正，可负，但不为0，故应选D. 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(

) A．f(x0＋Δx)

C．f(x0)·Δx

[答案] D [解析] 由定义，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D. 3．已知函数f(x)＝－x＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为(

) A．3

B．0.29 D．2.9 2

D．不等于零

B．f(x0)＋Δx

D．f(x0＋Δx)－f(x0) C．2.09

[答案] D [解析] f(－1)＝－(－1)＋(－1)＝－2.

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f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71. ∴平均变化率为f(－0.9)－f(－1)－1.71－(－2)－0.9－(－1)＝0.1＝2.9，故应选D. Δy34．已知函数y＝x－2，当x＝2时，＝________. Δx[答案] (Δx)＋6Δx＋12 Δy(2＋Δx)－2－(2－2)[解析] ＝

ΔxΔx(Δx)＋6(Δx)＋12Δx＝

Δx＝(Δx)＋6Δx＋12. 115．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．

4x2[答案] －

911－Δy2＋Δx212[解析] ＝＝－＝－. ΔxΔx4＋2Δx9

232332七、课堂小结

平均变化率怎么表示？

八、配餐作业

A组

1．已知函数f(x)＝x＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为(

) A．2

B．2.3 D．2.1 2C．2.09

[答案] B [解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69. ∴kAB＝f(1.3)－f(1)5.69－51.3－1＝0.32＝2.3，故应选B. 2．已知函数f(x)＝－x＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为(

) A．2－Δx C．2＋Δx [答案] B [解析] ∵f(2)＝－2＋2×2＝0，

∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)＋2(2＋Δx)

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22

B．－2－Δx

D．(Δx)－2·Δx

2

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＝－2Δx－(Δx)，

∴2f(2＋Δx)－f(2)＝－2－Δx，故应选B. 2＋Δx－2Δy23．已知函数y＝x＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于(

) ΔxA．2

B．2x

D．2＋(Δx)

2C．2＋Δx [答案] C [解析] Δyf(1＋Δx)－f(1)＝

ΔxΔx2[(1＋Δx)＋1]－2＝＝2＋Δx.故应选C. Δx4．质点运动规律S(t)＝t＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为(

) A．6.3 C．3.3 [答案] A [解析] S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，

∴平均速度v＝

B．36.3 D．9.3 2S(3.3)－S(3)1.893.3－3＝0.3＝6.3，故应选A. 1235．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x、③y＝x、④y＝中，平均x变化率最大的是(

) A．④

C．②

[答案] B [解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)＝3.99；1110④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B. x1＋Δx13322

B．③

D．①

1)及其邻近一点(1+Δx,f(1+Δx))，则6．已知函数f(x)=2x－1的图象上一点(1，2Δy=Δx（ ）

A．4

B．

4+2Δx C．4+2(Δx) D．

4x

B组

2.已知函数

f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在下列区间上

f (x) 及

g (x) 的

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平均变化率.(1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] . 1 、已知函数f(x)=-x+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A 、 3 B、 3Δx-(Δx) C 、 3-(Δx) D 、3-Δx 2、求y=x在x=x0附近的平均变化率.

6．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是(

) A．v0

C.

B.

Δt

s(t0＋Δt)－s(t0)D.2222

s(t0＋Δt)－s(t0) Δts(t)

t[答案] C [解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C. 1217．已知曲线y＝x和这条曲线上的一点P1，，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q44的坐标为(

) 12A.1＋Δx，(Δx) 4

12B.Δx，(Δx)

412C.1＋Δx，(Δx＋1)

4[答案] C 12 D.Δx，(1＋Δx)

412[解析] 点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝(Δx＋1)，故应选C. 418．函数y＝x在x＝1附近，当Δx＝时的平均变化率为________．

2[答案] [解析] 6－2 Δy1＋Δx－11＝＝＝6－2. ΔxΔx1＋Δx＋1 C组

9．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．

[解析] 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为

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f(－1)－f(－3)[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]－1－(－3)＝2函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为

＝2. f(5)－f(0)5－0＝2. 函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为

g(－1)－g(－3)－1－(－3)＝－2. 函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为

g(5)－g(0)5－0＝－2. 3.过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线, 求出当x0.1时割线的斜率.

九、课后反思

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