课题二 测建筑物的高度教学内容概述

概念说课提纲：

正弦定理（2课时）

——交大附中张潞怡

【教材地位与作用】

本节知识是上教版必修第五章《三角比》5.5节的内容，与初中学习的三角形边角关系有密切的联系，与判定三角形的全等也密切相关，尤其是三角形中边角之间的数量关系的研究，拓展了学生对三角形的了解。解三角形和三角函数的联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理的知识非常重要。

解斜三角形的知识在实际生活中有着广泛的应用，教学中可以多联系实际加强学生的数学应用意识。

【学情分析】 学习本节知识前，同学们已经掌握了基本的三角公式，并应用于一些特殊三角形中，但在解任意三角形的边与角问题时，由于受到一些隐含条件的限制，学习和掌握上都会比较困难。

【定理内容】

在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有

abc2R

sinAsinBsinC即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。

【定理变形】

a：b：c=sinA：sinB：sinC

a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC

asinBbsinA，asinCcsinA，csinBbsinC

【概念剖析】

（1）

正弦定理来源于三角形面积公式S111absinCacsinBbcsinA，此公式222用两边及夹角的正弦表示三角形面积，使得我们多了一个求面积的方法。此公式的特征是两边一角，且a(A)、b(B)、c(C)仅出现一次。

（2）

三角形中有性质大边对大角，大角对大边，将此性质结合正弦定理得到以下等价关系：ABabsinAsinB，即三角形中大角的正弦值较大，正弦值大的角是大角。

（3）

运用正弦定理变形式a：b：c=sinA：sinB：sinC，可以把以比例形式表达的边角关系全部转化为边的关系或角的关系。

（4）

正弦定理研究的是边与边所对角的关系，因此可以解决以下两类解三角形问题，一是已知三角形的两角与一边，解三角形；二是已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

【教学过程】

一、推导三角形面积公式

在学习了三角比定义后，若三角形的三边和三个角已知，把它放在平面直角坐标系中，就可以写出各点的坐标。为简化坐标形式，通常让其中的一个顶点与原点重合，一条边与x轴正向重合。

yA(bcosC,bsinC)bOCacxB(a,0)yC(acos,aBsin)ByB(c

cos,cA

sin)AcxaOBcbA(c,0)aOAbC(b,0)x

用一个剪好的三角形，标明顶点ABC及边a, b, c。

将三边a, b, c分别与坐标轴x的正向重合，并将三角形放置在平面直角坐标系中，得到

SΔABC∴

111absinCacsinBbcsinA

222abc

sinAsinBsinC说明：当其中的一个角是直角时，符合三角比的定义。

∴

正弦定理是直角三角形边角关系的推广。

书P72——例6：推导公式

A'2ROAabc2R

sinAsinBsinCBC

该公式可以将三角形面积拓展为：

SΔABC1abcabsinC2R2sinAsinBsinC（不需要记忆，只要知道变形即可）

24R

二、应用1——解斜三角形

正弦定理+内角和定理，可解决，

（1）

已知三角形的两角和一边，求其它的角与边；

（角角边，角边角——唯一确定）

（2）

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其它的边与角。

（边边角——不确定是一解，两解或无解）

完成教材P69，练习5.6（1）的2、3

例1．ΔABC中，a=10，c=7，A=30o，求C，三角形面积。

解：由

ac，得sinC=0.35 sinAsinC∴ C=20.49o或C=159.51o(∵C+A>180o, ∴

舍去) ∴C=20.49o ∴B=180-A-C=129.51o

∴sinB=0.7716 ∴

SΔABC1acsinB=27.0 2例2．ΔABC中，a=9.4，b=13.1，A=36o，求B，C，c。

解：由

三、应用2——等式证明，判断三角形形状

运用正弦定理变形式a：b：c=sinA：sinB：sinC，可以把以比例形式表达的边角关系全部转化为边的关系或角的关系。

例3.

ΔABC中，若sin2Asin2Bsin2C，判断ΔABC的形状。

解：由正弦定理得a2b2c2，∴ΔABC是直角三角形

例4.

ΔABC中，如果解：由正弦定理得ab，得sinB=0.819 sinAsinB∴ B=55o或B=125o ∵两个解均满足B+A<180o, ∴本题两个解

解得，B=55o，C=89o，c=16.0，

B=125o，C=19o，c=5.2 abc，判断ΔABC的形状。

cosAcosBcosCsinAsinBsinC，即tanAtanBtanC，

cosAcosBcosC∴ΔABC是等边三角形

例5.

ΔABC中，若acosAbcosB0，判断ΔABC的形状。

解：由正弦定理得acosAbcosB0即sinAcosAsinBcosB0，sin2Asin2B，

∴AB或2A2Bπ，∴ΔABC是等腰或直角三角形

a2b2b2c2c2a20

例6．求证：cosAcosBcosBcosCcosCcosAsin2Asin2Bsin2Bsin2Csin2Csin2A)4R2

证：左式=(cosAcosBcosBcosCcosCcosA

cos2Acos2Bcos2Bcos2Ccos2Ccos2A)4R2

=(cosAcosBcosBcosCcosCcosA=(cosBcosAcosCcosBcosAcosC)4R2=0 ∴

得证

四、应用3——应用问题

本节导入中的应用问题，需要了解“东南西北”在地图上的表示，即

上北下南，左西右东

完成问题

P67 完成教材P76，练习5.6（4），习题3、4

五、小结

六、作业