3.2.3 空间的角的计算教学设计实例｜教案在线预览

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课题：第3章3.2 空间向量的应用3.2.3空间的角的计算(2)——二面角的计算学习目标1.能够利用向量方法解决面面的夹角问题.2.掌握用空间向量解决面面的夹角问题的基本步骤. 一、问题情境我们知道，两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量．这就是说，空间的二面角最终可以通过转化，用两条相交直线所成

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所属课文：3.2.3 空间的角的计算

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3.2.3 空间的角的计算教学设计实例

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关键词：3.2.3 空间的角的计算教学设计实例

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课题：第3章

3.2 空间向量的应用

3.2.3

空间的角的计算(2)——二面角的计算

学习目标

1.能够利用向量方法解决面面的夹角问题.

2.掌握用空间向量解决面面的夹角问题的基本步骤.

一、问题情境

我们知道，两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量．这就是说，空间的二面角最终可以通过转化，用两条相交直线所成的角来度量．

二、建构数学

在定义了平面的法向量之后，我们就可以用平面的法向量来求两个

平面所成的角．

方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．

如图：二面角α-l-β的大小为θ，A，B∈l，ACα，BDβ, AC⊥l，

⊥l

，则θ＝

>＝．

方法二

转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角．

如图（1）P为二面角α-l-β内一点，作PA⊥α，PB⊥β，则∠APB与二面角的平面角互补．

总结：二面角的大小与其两个半平面的法向量夹角的关系？

二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，如图所示.

三、数学应用

例1

在正方体ABCDA1B1C1D1中，

求二面角A1BDC1余弦值的大小．

四、反思与感悟

向量法求二面角(或其某个三角函数值)的步骤

例2

已知E，F分别是在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD

的中点，求：

（1）A1D与EF所成角的大小；

（2）A1F与平面B1EB所成角的正弦值；

（3）二面角C-D1B1- B的余弦值．

五、练一练

1.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________________.

2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.

(1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值.

3.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，

QA=AB=

PD．

(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；

(2)求二面角Q-BP-C的余弦值．

4.如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E,F分别是BC,PC的中点.

(1)证明：AE⊥PD；

(2)若PA=AB=2，求二面角E-AF-C的余弦值.

六、课堂小结

利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．

七、课后作业

课本中习题

关于本教案的常见问题

Q：3.2.3 空间的角的计算教学设计实例是什么类型的资料？

A：这是一份教学教案文档，可用于备课、课堂讲解与课后复习，支持在线预览正文内容。

Q：这份教案对应哪篇课文？

A：对应课文《3.2.3 空间的角的计算》，可从面包屑进入课文目录查看同课其他资料。

Q：如何找到配套课件？

A：页面提供「配套课件/同课文课件」入口；也可进入课文详情页同时查看教案与课件列表。

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