2.2.1 椭圆的标准方程教学目标设计

《椭圆及其标准方程》的教学设计

学情分析

本课是学生学习了直线和圆的方程及其性质、曲线与方程的关系的基础上，学生对解析几何有一定的了解的基础上，已具有一定的观察、分析问题、解决问题的能力之后，开始学习圆锥曲线方程的第一课时．掌握椭圆的研究方法，既培养了学生的观察、分析、发现、概括、探索等能力，又为后续学习双曲线、抛物线甚至整个解析几何打下坚实的基础．新高中数学教学大纲要求加强创新能力的培养，使学生在学科领域或在现实生活情境中，通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能．故本课能够通过有关设计使之成为一节研究性课，也有必要使它成为研究性课．

教学目标

由本课的地位及学生现状分析，确定本课的教学目标：在准确掌握椭圆的定义，熟练掌握标准方程及其推导的基础上，注重数形结合和待定系数法等数学思想方法的渗透，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养．

教学方法

为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，发展他们的“最新发展区”，以及为了实现本课的教学目标

本课采用探索研讨法，即“问题诱导——启发讨论——探索结果”及“直接观察——归纳抽象——总结规律”的一种研究性教学方法．

教学准备

教师制作课件（一个PowerPoint课件，一个几何画板课件），准备25副画椭圆工具（每副包括一块木板、两颗图钉、一根细绳，一张白纸）．

教学过程设计

一．椭圆定义的探索（通过观察、实验、探索、抽象、归纳得出定义）

1．播放课件及观察实物；学生观察，形成椭圆的直观形象，创设问题情境，引起学生兴趣．播放内容：天体运行图（月亮绕地球，地球绕太阳旋转）、立体几何中圆的直观图．实物：圆柱形杯倾斜后杯中水的形状．

这是实际生活中图形，数学中我们也遇到这一类图形：在教材P72（4）（归结为到两定点距离之和为定值的点的轨迹）问题：如何用现有的工具画出图形？

2．实验：

教师与学生一起找出上述问题的解决方案，并一同画出图形，与上述图形相似——椭圆，并问：

1）在生活中除上述外有没有遇见过？（加深椭圆的印象，若学生回答鸡蛋轮廓线，鸡蛋的轮廓线两头有大小不是椭圆，有兴趣的同学可查有关的资料）

2）这样给椭圆下定义？

得出椭圆的直观定义：平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a的点M的轨迹．即点M满足|MF1||MF2|2a．

3．继续探索：平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a的点M的轨迹都是“椭圆”吗？

改变2a的大小后，或改变F1、F2之间的距离（2c），教师与学生一起画出图形，并观察图形的变化规律，由画图不方便，改用几何画板课件（图形能随着2a、或2c的改变而改变），并引导学生发现问题：

1）当|MF1||MF2||F1F2|（即2a=2c）时,点M的轨迹是什么？

师生共同用现有的工具画出（是一段线段）．

2）当|MF1||MF2||F1F2|（即2a<2c）时,点M的轨迹是什么？

师生共同分析：点M的轨迹不存在．

归纳得出椭圆的定义：（教材）

设计说明：这样设计能从从学生的知识的“最近发展区”出发发展知识、能力，有利于构建，动手实验不但能巩固椭圆的定义，而且能培养动手操作能力、探索能力，特别是最后画出是一段线段、及轨迹不存在的实验更是如此．

二．椭圆的标准方程

1．播放课件：本章引言，1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起，海尔•波普彗星将逐渐接近地球,4月以后，又将渐渐离去，并预测3000年以后，它还将光临地球上空．

问题讨论：紫金山天文台预测3000年以后它还将光临地球上空依据什么？

原来，海尔•波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行的周期．

说明轨迹方程有很大作用，即在解析几何中有一个一般方法：

轨迹（图形）——求轨迹方程（数）——讨论轨迹性质（图形）

让学生回忆求曲线方程的步骤．2．推导椭圆的标准方程

1）让学生根据所画的椭圆，选取适当的坐标系．（若学生选取适当的坐标系都一样，教师多画几个坐标系，让学生选，注意要有中心在原点焦点在y轴的坐标系；并提问：为什么选取这样的坐标系，依据是什么）

2）师生共同推导椭圆的标准方程（中心在原点焦点在x轴）：

|MF1||MF2|2a

即

(xc)2y2(xc)2y22a

22222222222∴acxa(xc)y

∴(ac)xaya(ac)

x2y2∵（a>c>0）令acb(b0)

∴221

ab2223）师生一起讨论：

①上述方程变形同解吗？促使学生理解：曲线方程必须是“以方程解为坐标的点在轨迹上”，但该证明略去．

②讨论当中心在原点焦点在y轴的椭圆的方程？怎样求？与中心在原点焦点在x轴椭圆的方程有什么联系？

促使学生理解数学的对称美（图形对称美、方程对称美及对称在此处的作用）．引出椭圆的标准方程（二种，中心一定在原点，焦点在坐标轴的椭圆方程）．

③为了方程的简单，引入b,b的大小能否在图形上找出？a、c呢？a、b、c大小如何？a、b、c之间的关系？

④方程AxByC，A、B、C满足什么条件时，是椭圆的方程？A、B、C满足什么条件时，是焦点在x轴上的椭圆的方程？A、B、C满足什么条件时，是焦点在y轴上的椭圆的方程？（举实例）

设计说明：这样设计丝丝入扣，既巩固椭圆标准方程，且引起学生的兴趣，培养了学生的运算能力，美的欣赏能力（对称美及其作用），提出问题的能力，反思的能力，促使学生22

体会如何用解析法探索曲线的性质；促使学生领悟如何学习、辩识新事物．

三．巩固练习（学生练习、思考、讨论、反馈、矫正）

1）（教材例1改）．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是(–4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是(0, – 2)、(0 ，2)，并且椭圆经过点(35,)．

22（（1）改）到两定点(０,４),(０,－４)的距离和等于８的点的轨迹方程. 让学生总结：（教师及时矫正与补充）

①判断所求方程是否是椭圆的标准方程，哪一种．

②用待定系数法等有关方法确定a、b（或利用a、b、c关系）．

2）(课本P96

3.)写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)a=4，b=1, 焦点在x轴上；

(2) a=4，c15，焦点在y轴上；

（3）ab10,c25

x2y21上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另3）(课本P96

2.)如果椭圆10036一个焦点F2的距离是

. 设计说明：这样设计有利于培养学生待定系数法、数形结合等的数学思想方法，巩固椭圆的定义；也有利于教师与学生之间的交流．

四．继续探索（为今后教学作准备、引起学生的探索欲望）

1．在探索椭圆定义时，发现椭圆有扁一些的、有圆一些的，用几何画板课件演示，注意a、b、c的变化，用什么来表示椭圆的扁圆的程度．

2222．在探索椭圆标准方程时，化简过程中有：acxa(xc)y；它有什么含义？

3．改为“到两定点距离之差为定值的点的轨迹”，则其轨迹是什么呢？你能否找到工具来验证你的想法？你还有什么类似的轨迹要研究、探索？

本教学设计是利用先进的教学理念，将传统手段（让学生画椭圆等）与先进的计算机多媒体技术整合在一起，取长补短，展现知识的发生发展过程，让学生始终处在问题探索研究状态之中，让学生在获取知识的同时，培养了学生的学习数学的兴趣；培养了待定系数、数形结合等数学思想方法，也培养了学生的动手能力、探索能力、美的欣赏能力，是研究性教学的一次有益的尝试．