1.3.1 量词教案板书设计

函数“任意、存在”型问题学案

一、

课前预习

1、已知函数f(x)xlnx，且mf(x)恒成立，求实数m的取值范围

exax22axa0在区间(0,2)的最小值. 2、求函数在f(x)x

二、教学目标：

使用分离参数法、构造函数法将“任意、存在”型函数问题转化为求函数的最值问题。

三、教学过程

1ex例：已知函数f(x)，g(x)k2xx2，对于任意的x[,2]都有f(x)g(x)成立，求2x实数k的取值范围。

小结：

变1：已知函数f(x)kx2x2x3，若x[1,2],使得f(x)ex成立，求k的取值范围。

1

小结：

ex变2：已知函数f(x)，g(x)k2xx2，若xo[1,2],使得f(xo)g(xo)成立，求k的x取值范围。

小结：

ex变3：已知函数f(x)ax22axa0，若对于x1,x21,2,a2afx1f(x2)恒成x立，求a的取值范围

小结：

四、当堂训练

1、存在实数x，不等式m

ex课后思考题：已知f(x)(x0),g(x)x22x，若x1,x2t,t1,使得xf(x1)f(x2)g(x2)g(x1)成立，求t的范围

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函数“任意、存在”型问题详案

一、教学目标：

能够将“任意、存在”型函数问题转化为求函数的最值问题。

二、教学重点：

使用分离参数法，构造函数法将“任意、存在”型函数问题转化为求函数的最值问题。

三、教学重点：

使用分离参数法，构造函数法将“任意、存在”型函数问题转化为求函数的最值问题。

四、

课前预习

1、已知函数f(x)xlnx，且mf(x)恒成立，求实数m的取值范围

exax22axa0在区间(0,2)的最小值. 2、

函数f(x)x五、教学过程

1ex例：已知函数f(x)，g(x)k2xx2，对于任意的x[,2]都有f(x)g(x)成立，求2x实数k的取值范围。

（教师黑板板书，强调书写规范）

11ex解：对于任意的x[,2]都有f(x)g(x)成立，就是对于k2xx2在x[,2]恒成立，22x11exex2可转化k＜x2x在x[,2]恒成立，得k＜（x22x）min，x[,2],

22xxexex2设h（x）=（2+2），

x2x，所以h′（x）=（x﹣1）xx可得1＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；

1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）递增．

2即有h（x）在x=1处取得最小值e﹣1，

则k＜e﹣1．综上k的取值范围是(，e﹣1).

小结：x[a,b],kf(x)k[f(x)]min,x[a,b]

变1：已知函数f(x)kx2x2x3，若x[1,2],使得f(x)ex成立，求k的取值范围。

（学生讨论生，学生讲解，书写）

exx22x在x[1,2]成立，

解：对于x[1,2],使得f(x)e成立，得k＜xxexexex22得k＜(（2+），

x2x)max，设h（x）=x2x，所以h′（x）=（x﹣1）xxx

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e2e2

当1≤x≤2时，

h（x）递增．即有h（x）在x=2处取得最大值，则k＜．综上k的22e2取值范围是(，). 2小结：x[a,b],kf(x)k[f(x)]max,x[a,b]

ex变2：已知函数f(x)，g(x)k2xx2，若xo[1,2],使得f(xo)g(xo)成立，求k的x取值范围。

（学生黑板板书）

解：若xo[1,2],使得f(xo)g(xo)成立，相当于x[1,2],f(x)g(x)有解

exex2即k2xx在[1,2]上成立，所以kx22x在[1,2]成立，

xxexex2设h（x）=（2+），

x2x，所以h′（x）=（x﹣1）xxe2e2当

1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）递增．e-1≤h(x) ≤，所以k的范围是[e-1，] 22

小结：x[a,b],kf(x)kf(x),x[a,b]

ex变3：已知函数f(x)ax22axa0，若对于x1,x21,2,a2afx1f(x2)恒成x立，求a的取值范围

（学生讨论解决后，学生书写）

解：于x1,x21,2,a2afx1f(x2)恒成立，相当于a2afxmaxf(x)min，x1,2

ex所以f′（x）=（x﹣1）（2+2a），因为a0时，f′（x）>0恒成立，f(x)在[1,2]单调增，

x所以[f(x)]minf(1)ea，[f(x)]maxe2f(2)，

2e2e2e22(ea)，所以ae，所以a的取值范围[所以aae,)

2222小结：x1,x2[a,b],k|f(x1)f(x2)|k[f(x)]max[f(x)]min,x[a,b]

总结：

方法：1分离参数法，2构造函数法

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六、当堂训练

11、存在实数x[,2]，使m

解：由题意得，不等式lnxax0，对任意的x(0,)恒成立，即alnx，对任意的x(0,)恒xlnx，即ag(x)max，x(0,)，

x1lnx而g'(x)，令g'(x)0，解得xe，

x2成立，设g(x)所以gx在(0,e)上是增函数，在(e,)上是减函数，

所以g(x)maxg(1)11，所以a≥，

eeex课后思考题：已知f(x)(x0),g(x)x22x，若x1,x2t,t1,使得xf(x1)f(x2)g(x2)g(x1)成立，求t的范围

解：若x1,x2t,t1,使得f(x1)f(x2)g(x2)g(x1)成立，

相当于x1,x2t,t1,使得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)成立，

即h(x)f(x)g(x)在xt,t1上不单调，

exex2设h（x）=（2+），

x2x，所以h′（x）=（x﹣1）xx可得当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；

当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增．

所以t＜1＜t+1，则0＜t＜1，又因为t＞0且t+1＞0，所以t＞0；综上t的取值范围为(0，1) 小结⑤：x1,x2[a,b],fx1fx2fx在区间[a,b]上不单调

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